苏科版数学七年级下册10.4解三元一次方程组(共19张PPT)

解三元一次方程组
苏科版七年级下册 数学
足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2，该球队胜、平、负各多少场？
问题中含有几个未知数？有几个相等关系？
你能根据等量关系列出方程吗？
设该球队胜x场，平y场，负z场，可以得到关于x,y,z的三个方程：
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，把它们联立在一起。
问题1
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程联立在一起，可写成
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
如何解三元一次方程组呢？
同学们，是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？
仿照前面学过的代入消元法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程
(4z+2)+y+z=22
3(4z+2)+y=47
将③ 式代入①②，得方程组
④
⑤
y+5z=20
y+12z=41
∴
解这个方程组得
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
①
②
③
y = 5
z= 3
将z= 3代入③式得x=14
所以原方程组的解是
x= 14
y=5
z=3
1.解三元一次方程组
x－y＋z=7 ①
x＋y=－1 ②
2x－y－z=0 ③
分析：方程②中只含x，y，因此
可以由①、③消去z，得到一个只含
x，y的方程，这个方程与方程②联
立，组成一个二元一次方程组.
解：①＋③ 得
3x－2y=7 ④
②与④联立，得方程组
解这个方程组，得
x＋y=－1，
3x－2y=7.
x=1，
y=－2.
把x＝1，y＝－2代入①，得 z=4.
所以原方程组的解是
x=1
y=－2
z=4
练 习 题
2.解三元一次方程组
3x＋4z=7 ①
2x＋3y＋z=9 ②
5x－9y＋7z=8 ③
分析：方程①中只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
练 习 题
解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
3x＋4z=7，
11x＋10z=35.
x=5，
z=－2.
把x＝5，z＝－2代入②，得 y =
3
1
因此，这个三元一次方程组
的解为
x=5
y=
z=－2
3
1
观察下列方程中每个未知数的系数，先消哪个元
比较简单？为什么？如何消元？
解三元一次方程组的关键在于消元，使其转化为二元一次方程组这就要求我们要认真地观察、分析，确定消元的对象及做法，这样不但可以节省时间，也可以帮助我们更准确地解决问题.
①
②
③
①
②
③
①
②
③
（1）
（3）
（2）
5x+2y=5
y－z= －7
4z+3x=13
①
②
③
（4）
思 考：
x+y+z=22
3x+y=47
x=4z+2
x－y＋z=7
x＋y=－1
2x－y－z=0
3x＋4z=7
2x＋3y＋z=9
5x－9y＋7z=8
1.解下列三元一次方程组：
3a－b＋c=0 ①
2a＋b－c=3 ②
2a＋3b－c=2 ③
解 ①+②，得5a=3，所以a =
5
3
问题2
将 a= 代入，得方程组
b－c =

3b－c =
5
3
5
9
5
4
得
b =－

c = －
2
1
10
23
所以原方程组的解是
b =－

c = －
2
1
10
23
5
3
a =
活动3
在等式 y=ax2+bx+c 中，当x＝－1时，y＝0；
当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60 ． 求a、b、c的值．
a－b+c=0 ①
4a＋2b＋c=3 ②
25a＋5b＋c=60 ③
根据题意得：
解：②－①，得
3a＋3b=3
将 ④ ⑤联立，得方程组
a＋b=1
7a＋b=19.
解这个方程组，得
a=3，
b=－2.
把 a=3，b＝－2代入①，得 c=－5.
∴a＋b=1
④
③－②，得
21a＋3b=57
∴7a＋b=19 ⑤
所以原方程组的解是
a= 3
b=－2
c=－5
练 习 题
观察下列方程中每个未知数的系数，若用加减法
解方程组，先消哪个元比较简单？为什么？如何消元？
再思考：
a-b+c=0 ①
4a＋2b＋c=3 ②
25a＋5b＋c=60 ③
3a－b+c=0 ①
2a＋b－c=3 ②
2a＋3b－c=2 ③
关键在于消同一个元，使其转化
为二元一次方程组
（1）
（2）
x＋y－z＝6 ①
x－3y＋2z＝1 ②
3x＋2y－z＝4 ③
（3）
三元一次方程组的解法
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
一元一次方程
通过本课时的学习，同学们有什么收获？
消元
体现转化的思想方法
x=
y=
z=
5
11
5
32
-
5
51
-
练 习 题
x＋y－z＝6
x－3y＋2z＝1
3x＋2y－z＝4
5
3
a =
x＋y－z＝6，
x－3y＋2z＝1，
3x＋2y－z＝4.
解三元一次方程组
①
②
③
【答案】
总结：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
观察下列方程中每个未知数的系数，若用加减法
解方程组，先消哪个元比较简单？为什么？如何消元？
解三元一次方程组的关键在于消元，使其转化为二元一次方程组这就要求我们要认真地观察、分析，确定消元的对象及做法，这样不但可以节省时间，也可以帮助我们更准确地解决问题.
3x+4y-z=4
6x-y+3z= -5
5y+z=11
x+y+z=26
x-y=1
2x-y+z=18
5x-y=6
2y-z= -1
x+2z=12
5x+2y=5
y-z= -7
4z+3x=13
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
（1）
（3）
（2）
（4）
思 考：
如何解三元一次方程组呢？
x+y+z=12 ①
x=4y ②
x+2y+5z=22 ③
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程
4y+y+z=12
4y+2y+5z=22
将 ②式代入①③，得方程组
④
⑤
5y+z=12
6y+5z=22
∴
解这个方程组得
1.解下列三元一次方程组：
解 ①+②，得5a=10，所以a=2.
④
①+③，得5a+2b=16.
将a=2代入④，得b=3.
再将a=2，b=3代入① ，得c=1.
所以原方程组的解是
3a-b+c=0 ①
2a＋b-c=3， ②
2a＋3b-c=60. ③
a=2
b=3
c=1
1.解下列三元一次方程组：
①
②
③
解 ②+③×2，得x+2y=4.
④
④-①，得2y=3-y，所以y=1.
将y=1代入①，得x=2.
再将y=1代入③，得z=-2.
所以原方程组的解是
练习. 解方程组 时，可由①得
x－y＝1③,将③代入②得4×1－y＝5, 求得 y＝－1
从而求得 ，这种方法称为“整体代入法”，请用这样
的方法解下列方程组
x－y－1= 0 ①
4(x－y)－y=5 ②
x =0
y = －1
3
x + 1
= 2y
2(x+1)－y =11