苏科版数学七年级下册11.4解一元一次不等式(共24张PPT)

11.4 解一元一次不等式
1、解一元一次不等式的一般步骤：
知识回顾:
① 移项；
② 合并同类项；
③ (含未知数项的)系数化成1
2、怎么在数轴上表示不等式的解？
① 确定边界点
边界点是不等式的解，用实心圆点；
边界点不是不等式的解，用空心圆点
② 确定方向
对于边界点而言，
“小于向左画，大于向右画”
各抒己见
求一元一次不等式的解集与解一元一次方程有什么区别？
小明说：求一元一次不等式的解集与解一元一次方程的方法非常 类似，最后一步系数化为1的时候不同。
小军说：求一元一次不等式的解集与解一元一次方程的方法是一样的。
小红说：求一元一次不等式的解集与解一元一次方程是不一样的。
如：2x-1=4 2x-1<4
解：2x=4+1 解：2x<4+1
2x=5 2x<5
x=2.5 x<2.5
-2x-1<4
解：-2x<4+1
-2x<5
x>-2.5
系数化为1
合并同类项
移项
系数化为1
三人中，你觉得谁的说法是正确的？
小明的说法是正确的
各抒己见
求一元一次不等式的解集与解一元一次方程的区别
一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是在不等式两边都乘(或除以)同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确地运用不等式的基本性质2； 特别要注意，在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，要改变不等号的方向.
探究活动：
解不等式：
解：
如何去掉不等式中的分母？依据是什么？
根据不等式的基本性质2，不等式两边每项同时乘以2和3的最小公倍数6
去分母，得：2x＞6-3(x-2)
当分子为多项式时，去分母后要添加括号
去括号，得：2x＞6-3x+6
移项，得：2x+3x＞6+6
合并同类项，得：5x＞12
两边都除以5，得： x＞
括号前系数的符号为负号时，要注意去括号后原括号的各项都要改变符号.
解一元一次不等式的步骤:
1、去分母：不要漏乘不含分母的项，分子为多项式要添括号
2、去括号：不漏乘，括号前面是负号时里面的各项都要变号
3、移项：移项一定要变号
4、合并同类项：字母不变，系数相加
5、(含未知数项的)系数化为1：不等式两边都乘(或除以)同一个正
数，不等号方向不变；不等式两边都乘(或除以)同一负数，不
等号方向改变
例1：
解不等式： ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来
解：
去分母，得：2(2x-1)≥3x-1
去括号，得： 4x-2≥3x-1
移项，得：4x-3x≥-1+2
合并同类项，得： x≥1
这个不等式的解集在数轴上表示：
1
?
0
-1
你还能用其他方法解这个不等式吗？
例1：
解不等式： ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来
解2：
这个不等式的解集在数轴上表示：
1
0
-1
?
化简，得： 2x-1≥ x-
移项，得：2x- x≥- +1
合并同类项，得： x≥
两边都除以 ，得： x≥1
例2：
解不等式： ＜ ，并把它的解集
在数轴上表示出来
解：
去分母，得：6-3(x+6)＜2(2x+1)
去括号，得： 6-3x-18＜4x+2
移项，得： -3x-4x＜2+12
合并同类项，得： -7x＜14
这个不等式的解集在数轴上表示：
两边都除以-7，得： x＞-2
不等式两边都乘(或除以)同一负数，不等号的方向改变
0
-2
○
去分母时，要将每个分数的分子视为一个整体参与运算，因此要将x+6和2x+1分别用括号括起来
例3：
解不等式： ≥18 ，并把它的解集
在数轴上表示出来
解：
去分母，得：1.5(x-1)-(2x+1)≥18×0.75
去括号，得： 1.5x-1.5-2x-1≥13.5
移项、合并同类项，得： -0.5x≥16
这个不等式的解集在数轴上表示：
两边都除以-0.5，得： x ≤-32
0
-32
○
?
因为0.75是0.5的1.5倍，所以它们的最小公倍数是0.75，不等式两边同时乘以0.75
例3：
解不等式： ≥18，并把它的解集在数轴上表示出来
解2：
去分母，得： 6(x-1)-4(2x+1)≥54
去括号，得： 6x-6-8x-4≥54
移项、合并同类项，得： -2x≥64
这个不等式的解集在数轴上表示：
两边都除以-2，得： x≤-32
化简，得：2(x-1)- (2x+1)≥18
0
-32
○
?
例4：
求不等式 ≤2的负整数解
解：
去分母，得： 2(2x-1)-(9x+2)≤12
去括号，得： 4x-2-9x-2≤12
移项、合并同类项，得： -5x≤16
特殊解问题
方法：先解一元一次不等式，再利用不等式的解集确定特殊解
两边都除以-0.5，得： x≥
所以满足x≥ 的负整数解是-3,-2，-1，即不等式的负整数解是-3,-2，-1.
也可以在数轴上表示出解集，然后找出负整数解
例4：
求不等式 ≤2的负整数解
解：
去分母，得： 2(2x-1)-(9x+2)≤12
去括号，得： 4x-2-9x-2≤12
移项、合并同类项，得： -5x≤16
特殊解问题
两边都除以-0.5，得： x≥
所以满足x≥ 的负整数解是-3,-2，-1，即不等式的负整数解是-3,-2，-1.
求一元一次不等式的特殊解的一般步骤：
先求出不等式的解集，
然后在不等式的解集中确定在限制条件下的特殊解.
求特殊解一定要注意端点值，要做到不重不漏，也可以借助数轴的直观性求解
1. 解下列不等式，并把解集表示再数轴上.
试试一定行
⑴
⑵ ≥ 2
解：
去分母得：2(2x-1)-24＞-3(x+4)
去括号得： 4x-2-24＞-3x-12
移项合并同类项得： 7x＞14
两边同时除以7 得： x＞2
这个不等式的解集在数轴上表示：
0
2
○
解：
去分母得： ≥12
去括号得：2x+2x-12≥12
移项合并同类项得： 4x≥24
两边同时除以4 得： x ≥6
0
6
?
这个不等式的解集在数轴上表示：
例5：
解：
去分母得： 14x-7(3x-8)≥4(10-x)-14
去括号得： 14x-21x+56≥40-4x-14
移项、合并同类项，得： -3x≥-30
构造一元一次不等式解决问题
两边都除以-3，得： x≤10
当x取何值时，代数式 的值不小于 的值，
并求出此时x的最大值
方法：
先利用题中关键词“不小于”列出不等式，然后求其解集，再根据解集确定x的最大值
由题意得： ≥
当x≤10时，代数式
的值不小于 的值，
此时x的最大值是10
例5：
解：
去分母得： 14x-7(3x-8)≥4(10-x)-14
去括号得： 14x-21x+56≥40-4x-14
移项、合并同类项，得： -3x≥-30
构造一元一次不等式解决问题
两边都除以-3，得： x≤10
当x取何值时，代数式 的值不小于 的值，
并求出此时x的最大值
小结：
求解该例题的关键是根据题意列出不等式，即把所给问题转化为一个求不等式解集的问题，理解题中的“不小于” 是“大于或等于” 的意思
由题意得： ≥
当x≤10时，代数式
的值不小于 的值，
此时x的最大值是10
2. 当代数式 的值不大于3时，求x的非负整数解.
试试一定行
解：
由题意得： ≤3
去分母得：5(x+3)-2(x-1)≤30
去括号得： 5x+15-2x+2 ≤30
移项、合并同类项得： 3x≤13
两边同时除以3得： x ≤
所以满足x≤ 的非负
整数解是1，2，3，4.
例6：
解：
不等式去括号得： 3x+6-7＞5x-5-8
移项、合并同类项，得： -2x ＞-12
不等式与方程的综合应用
两边都除以-2，得： x ＜ 6
方法：
先解方程，用含b的代数式表示x，再解出不等式的解集，最后将含b的代数式代入不等式的解集，构建关于b的一元一次不等式
已知关于x的方程 x-b=1 的解是不等式 3(x+2)-7 ＞5(x-1)-8的一个解，求b的取值范围.
由x-b=1得： x=b+1
根据题意得： b+1 ＜ 6
b ＜ 5
解决该题型题目时，通过解方程，得出用含b的代数式表示x是关键
例6：
解：
不等式去括号得： 3x+6-7＞5x-5-8
移项、合并同类项，得： -2x ＞-12
不等式与方程的综合应用
两边都除以-2，得： x ＜ 6
方法：
先解方程，用含b的代数式表示x，再求出不等式的最大整数解，利用相等关系构建关于b的一元一次方程
已知关于x的方程 x-b=1 的解是不等式 3(x+2)-7 ＞5(x-1)-8的
最大整数解，求b的值.
由x-b=1得： x=b+1
根据题意得： b+1 = 5
所以 b = 4
不等式的最大整数解为： x = 5
解决该题型题目时，需要认真审题，根据条件来判断最后构建的是关于b的不等式还是方程
2、一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的解法的
相同点和不同点.
1、解一元一次不等式的一般步骤.
课堂小结：
去分母、去括号、移项、合并同类项、
(含未知数项的)系数化为1.
一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但是在不等式两边都乘(或除以)同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数还是负数，正确地运用不等式的基本性质2.
例7：
解：
所以x=2a+1，代入⑴得y=2a+1-3=2a-2
可得：x + y=4a-1
不等式与方程组的综合应用
因为： x+y ＜ 7
方法：
先解方程，用含a的代数式表示出x+y，再根据x+y＜7得到关于a的不等式，从而求出a的取值范围
已知关于x、y的方程组 的满足 x+y＜7 ，求a的取值范围.
所以：4a-1 ＜ 7
解得： a ＜ 2
关于不等式与方程组的综合应用问题，一般先求出其中一个含字母的式子的解(解集)，再按它们的解之间的关系，求出字母的值或取值范围
令 ，由⑴+⑵得3x=6a+3
试试一定行
3. 已知关于x、y的方程组 的满足 x+y＞0 ，
求m的取值范围.
解：
令 ，由⑴+⑵得3x+3y=3-m，
所以 x+y=
因为 x + y ＞0；
所以 ＞0
3- m ＞0
- m ＞-3
m ＜ 3
拓展：不等式的同解问题
若关于x的不等式3x-2＜4x+1与不等式 2x-a ＞x+a的解集相同，求a的值
方法：先求出不等式3x-2＜4x+1的解集，然后用含a的代数式表示2x-a ＞x+a的 解集，通过解集求出a的值
解不等式3x-2＜4x+1
移项、合并同类项，
得： -x ＞3
两边都除以-1，
得： x ＜-3
解不等式2x-a ＞x+a
移项、合并同类项，
得： x ＞2a
因为两不等式的解集相同
所以2a=-3
解得a=-1.5
拓展：不等式的同解问题
若关于x的不等式3x-2＜4x+1与不等式 2x-a ＞x+a的解集相同，求a的值
解不等式3x-2＜4x+1
移项、合并同类项，
得： -x ＞3
两边都除以-1，
得： x ＜-3
解不等式2x-a ＞x+a
移项、合并同类项，
得： x ＞2a
因为两不等式的解集
相同
所以2a=-3
解得a=-1.5
若x＞a与x＞b的解集相同，则a=b
解含字母的一元一次不等式时，要先分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示常数，然后按照解一元一次不等式的一般步骤求解.