湘教版（2012）初中数学八年级下册 2.6.1 菱形的性质 教案

第2章《四边形》
2.6.1《菱形的性质》教学设计
【学习目标】
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
【学习重点】
探索并证明菱形的性质定理.
【学习难点】
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
知识回顾：
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
提问：
同学们知道的特殊的平行四边形还有什么？
【自主探究】
阅读教材P65观察，完成下列内容：
1．菱形与平行四边形的关系是：菱形是特殊的平行四边形．
2．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
情景导入　生成问题：
活动1
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
共同点：
它们的邻边也相等．
思考：如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
呈现定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
标注重点：菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
探究：我们模仿平行四边形性质的探索方法来探究菱形有什么性质吧！
活动2
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
填一填
把图2-50中的菱形ABCD沿直线DB对折（即作关于直线DB的轴反射），点A的像是
，点C的像是
，点D的像是
，点B的像是
，边AD的像是
，边CD的像是
，边AB的像是
，边CB的像是
.
从上述结果看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
【合作探究】
求证：菱形的四条边相等。
菱形的两条对角线互相垂直。
并且每一条对角线平分一组对角。
已知：如图，四边形ABCD是菱形
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
AC平分∠DAB和∠DCB即∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
BD平分∠ADC和∠ABC即∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的定义）.
又∵AB
=
CD，AD
=
CB
,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
（2）在等腰△DAC中，又∵AO
=
CO,
∴BD
⊥
AC
BD平分∠ADC(三线合一)，
同理可证
BD平分∠ABC
AC平分∠DAB和∠DCB
知识梳理：菱形的性质
性质1.
菱形的四条边都相等。
数学语言
∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=BC=CD=DA
性质2.
菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。
数学语言
∵四边形ABCD是菱形
∴
AC⊥BD
OA=OC
OB=OD
∴∠1=∠2
=∠3=∠4
∠5=∠6=∠7=∠8
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：
是轴对称图形.
角：
对角相等.
边：
四条边都相等.
边：
对边平行且相等.
对角线：
互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
对角线：
相互平分.
活动3
思考菱形面积的计算方法
问题1
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
问题2
如上图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
归纳：
菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
【合作探究】
例1
如图2-51，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD的面积和周长.
解
菱形ABCD的面积为S=
?AC?BD
在直角三角形ABO中，
从而
AB
=
2.5(cm).
【知识再现】
1个定义
一组邻边相等的平行四边形是菱形
2个公式
3个特性
特在边、角、对角线
【课后反思　查漏补缺】
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：_________________________________________________________________
__
有一个角是直角
矩形
平行四边形
特殊的平行四边形
A
B
C
O
D
A
D
C
B
O
2
7
8
1
3
4
5
6
A
B
C
D
O
E
所以
AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25.