1.4全称量词与存在量词-人教A版高中数学选修2-1课件（20张）

1.4全称量词与存在量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“?”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
思考
下列语句是命题吗？①与③，②与④之间有什么关系？
①x>3 ③对所有的x∈R，x>3
②2x+1是整数 ④对任意一个x∈Z,2x+1是整数
例：(1)对任意n∈Z，2n+1是奇数
(2)所有的正方形都是矩形
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示.
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”.
简记为?x∈M，p(x)
读作“任意x属于M，有p(x)成立”
例1、判断下列全称命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2)?x∈R，x2+1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数.
真
假
假
练习：判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2+2>0；
(2)?x∈N，x4≥1.
真
假
要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“?”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
思考
下列语句是命题吗？①与③，②与④之间有什么关系？
①2x+1=3；②x能被2和3整除；
③存在一个x∈R，使2x+1=3
④至少有一个x∈Z,x能被2和3整除
例：(1)有一个素数不是奇数;
(2)有的平行四边形是棱形
假
假
真
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示.
特称命题“存在M中任意一个x，有p(x)成立”.
简记为?x∈M，p(x)
读作“存在一个x属于M，使有p(x)成立”
例2、判断下列特称命题的真假：
(1)有一个实数x0，使x02+2x0+3=0成立；
(2)存在两个相交平面垂直同一条直线；
(3)有些整数只有两个正因数.
练习：判断下列命题的真假：
(1)?x0∈Z，x02<1;
(2)?x0∈Q，x02=3
真
假
要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
练习
1.说出下列命题是全称命题还是特称命题：
(1)有的命题是不能判定真假的；
(2)所有的人都喝水；
(3)存在有理数x，使x2-2=0;
(4)对所有实数a，都有|a|≥0.
特称命题
特称命题
全称命题
全称命题
P23 练习：
1、判断下列全称命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数.
假
真
假
2、判断下列特称命题的真假：
(1)?x0∈R，x0≤0；
(2)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
(3)?x0∈{x|x是无理数}，x02是无理数
真
真
真
对全称命题、特称命题不同表述形式的学习
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法。
命题
全称命题
特称命题
表
述
方
法
(1)所有x∈A，p(x)成立
(2)对一切x∈A，p(x)成立
(3)对每一个x∈A，p(x)成立
(4)任选一个x∈A，p(x)成立
(5)凡x∈A，p(x)成立
(1)存在x0∈A，使p(x0)成立
(2)至少有一个x0∈A，使p(x0)成立
(3)对有些x0∈A，使p(x0)成立
(4)对某个x0∈A，使p(x0)成立
(5)有一个x0∈A，使p(x0)成立
练习、指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并分别用符号“?”“?”表示.
(1)存在实数a,b，使|a-1|+|b-1|=0;
(2)对于实数a，a0=1；
(3)有些实数x，使得|x+1|<1
解：(1)特称命题，?a,b∈R，|a-1|+|b-1|=0.
(2)全称命题，?a∈R，a0=1.
(3)特称命题，?x∈R，|x+1|<1
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
一.全称命题的否定
思考、写出下列命题的否定
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x2-2x+1≥0.
否定:
(1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)?x∈R，x2-2x+1<0.
?x∈M，?p(x)
?x∈M，?p(x)
?x∈M，?p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题p:?x∈M，p(x)
它的否定?p:?x0∈M，?p(x)
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
例3、写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
(1)所有实数的绝对值都不是正数;
(2)每一个平行四边形都不是菱形;
否定:
(3)?x∈R，x2+1≥0
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，?p(x)
?x∈M，?p(x)
?x∈M，?p(x)
思考、写出下列命题的否定
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x2+1<0.
一.特称命题的否定
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题.
特称命题p:?x0∈M，p(x)
它的否定?p:?x∈M，?p(x)
例4、写出下列特称命题的否定：
(1)p：?x0∈R，x02+2x0+2=0
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含有三个正因数.
含有一个量词的命题的否定：
全称命题的否定是特称命题,
特称命题的否定是全称命题.
2、特称命题p:?x0∈M，p(x)
它的否定?p:?x∈M，?p(x)
1、全称命题p:?x∈M，p(x)
它的否定?p:?x0∈M，?p(x)
练习、写出下列命题的否定
(1)p：任意两个等边三角形都是相似的.
?p：存在两个等边三角形，它们不相似.
(2)p：存在一个实数，它的绝对值不是正数.
?p：任给一个实数，它的绝对值是正数.
练习、用符号“?”与“?”表达下列命题，并写出它的否定形式。
(1)对一切实数x，都有x2+x+1>0.
(2)存在实数x，使得x2-x+1=0.
(3)所有质数都是奇数.
(4)不存在实数x，x2+1<2x.
(5)集合A的任意一个元素都是集合B的元素.
(6)如果一条直线与平面平行，那么平面上的直线不都与这条直线平行.
小结
含有一个量词的命题的否定：
全称命题的否定是特称命题,
特称命题的否定是全称命题.
2、特称命题p:?x0∈M，p(x)
它的否定?p:?x∈M，?p(x)
1、全称命题p:?x∈M，p(x)
它的否定?p:?x0∈M，?p(x)