(共26张PPT)
2.1.2
求曲线的方程
对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何．
坐标法和解析几何的意义、基本问题：
解析几何的两大基本问题就是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
新课探究
思考1：
我们有哪些可以求直线方程的方法？
0
x
y
A
B
例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。
法一：运用直线方程的知识来求.
y
0
x
A
B
M
新课探究
例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。
思考2：若没有现成的结论怎么办?
──需要寻找一般性的方法
我们的目标就是要找x与y的关系式
先找曲线上的点满足的几何条件
例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。
法二:一般性的方法
证明所得的方程是线段AB的垂直平分线方程
例2、设A，B两点的坐标分别是(-1，-1)，(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。
证明所得的方程是线段AB的垂直平分线方程
即方程的解在线段AB的垂直平分线上
求曲线方程的步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出满足条件p的点M的集合P={M|
p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；
(4)化简方程
f(x,y)=0
；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
一般情况下，步骤(5)可以省略不写。
步骤(2)也可省略
归纳:
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称—建系设点；
(2)
用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称—列(代)方程并限制条件；
(3)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称—化简方程；
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化.
例3、已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
B
求曲线的方程要注意以下几点：
(1)当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。
(2)要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。
(3)根据具体条件，有时要注明变量x与y的变化范围。
练习
1、已知两定点A(-2,0)，B(2,0)，如果动点P满足PA与PB的斜率之积为-2，求动点P的轨迹方程.
2、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程.
2x2+y2=8(x≠±2)
x2+y2=4
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称—建系设点；
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称—写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称—列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称—化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，
简称—证明．
小结：
归纳:
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称—建系设点；
(2)
用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称—列(代)方程并限制条件；
(3)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称—化简方程；
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化.
定义法求曲线方程
例1、已知定长为8的线段，其端点A、B分别在x轴和y轴上移动，线段AB的中点为M，求点
M的轨迹方程.
练习、已知圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
代入法求曲线方程
例2、△ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,0)、(4,0)，AB边上的中线的长为3，求顶点A的轨迹方程.
针对练习
针对练习
点差法
求曲线方程的过程中:
1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可以使过程变得简洁.(数形结合!)
2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系是相当困难的,这时我们要巧妙地借助与它相关的点来分析,会更容易发现问题中的代数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法,代入法)
练习
P37A
法一：
法三：
例3：
法二：
D
查漏除杂
B
A
M
引入参数法
作业：
P
M
N
O1
O2
高考真题：
如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得
试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
x
y
o
体验高考(共8张PPT)
2.1.1
曲线与方程
1、求第一、三象限角平分线的坐标满足的关系.
点的横坐标与纵坐标相等
x=y（或x-y=0）
第一、三象限角平分线l
得出关系：
x
y
0
(1)l上点P的坐标都是方程x-y=0的解
(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上
曲线
条件
方程
分析特例归纳定义
P
·
0
x
y
M
2、方程y=ax2(a>0)是关于y轴对称的抛物线如图
满足关系：
①
如果(x0,y0)是抛物线上的点，那么(x0,y0)一定是这个方程的解
②
如果(x0,y0)是方程y=ax2(a>0)的解，那么以它为坐标的点一定在抛物线上
图象上的点M与此方程y=ax2有什么关系？
分析特例归纳定义
3、说明过A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|=2的关系
①直线上的点的坐标都满足方程|x|=2
②满足方程|x|=2的点不一定在直线上
结论：过A(2，0)平行于y轴的
直线的方程不是|x|=2
0
x
y
2
A
分析特例归纳定义
1.定义
f(x,y)=0
0
x
y
C
说明：
曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系
方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么
这个方程f(x，y)=0叫做这条曲线的方程
这条曲线C叫做这个方程的曲线
2、两者间的关系：
点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y)=0，那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是
点在曲线上
f(x0,y0)=0
例1、证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2
+y2
=
25，并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以
也就是x02
+y02
=
25.?
即
(x0,y0)
是方程x2
+y2
=
25的解.
(2)设(x0,y0)是方程x2
+y2
=
25的解，那么x02
+y02
=
25，两边开方取算术根，得
即点M(x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的一点.
由(1)、(2)可知，
x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.
M1在圆上，M2不在圆上
第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.
