2.3.1双曲线及其标准方程-人教A版高中数学选修2-1课件（25张含演示动画）

(共25张PPT)
2.3.1
双曲线及其标准方程
将上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化?它的方程又是怎样的?
平面内与两定点F1、F2距离的和等于常数
(大于|F1F2|)的点的轨迹.
一、情境创设：
1、椭圆定义
|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)
想一想
1、实验:如图,取一根拉链,在拉开的两边上各取一个点,分别固定在不同两点上，将笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖所经过的点画出的图形是什么？
二、新知探索：
动画演示
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
上面两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
|
|MF1|-|MF2|
|
=
2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
双曲线表示的点集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a}
①
两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②
|F1F2|=2c
——焦距.
(1)2a<2c
；
o
F2
F1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
(2)2a
>0
；
双曲线定义
思考：
(1)若2a=2c,则轨迹是什么？
(2)若2a>2c,则轨迹是什么？
说明:
(3)若2a=0,则轨迹是什么？
|
|MF1|
-
|MF2|
|
=
2a
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段F1F2的垂直平分线
F2
F1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程:
1.
建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
设M(x
,
y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式
|MF1|
-
|MF2|=±2a
4.化简
y
x
o
F2
M
F1
c2-a2=b2
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
焦点在y轴上
F2
F1
y
x
o
焦点在x轴上
y
x
o
F2
M
F1
2、双曲线的标准方程
定义
图象
方程
焦点
a、b、c的关系
谁正谁是a
F2
F1
y
x
o
y
x
o
F2
M
F1
看x2,y2前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
△双曲线焦点判断:
椭圆
双曲线
定
义
方
程
焦
点
a、b、c的关系
F(±c，0)
F(±c，0)
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
F(0，±c)
F(0，±c)
例1、
判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出
a,b,c
解:由(2+m)(m+1)>0，得m<-2或m>-1
∴m的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,+∞)
m<-2
例3、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
∵　2a
=
6,　c=5
∴　a
=
3,
c
=
5
∴　b2
=
52-32
=16
所以所求双曲线的标准方程为：
解:根据双曲线的焦点在
x
轴上，设它的标准方程为：
练习、写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1、a=4,b=3,焦点在x轴上;
2、焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
1、已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2
,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长为
　　　
.
2、已知双曲线
上一点P到双曲线的一个焦点的距离为9，则它到
另一个焦点的距离为______
3或15
26
练习
例5、已知焦点在y轴上的双曲线上两点P1
,P2的坐标分别为　　　　　　　，求双曲线的标准方程。
分析：设双曲线的方程为
所求双曲线的标准方程为
分析：设双曲线的方程为
练习、已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为
，求双曲线的标准方程。
所求双曲线的标准方程为
当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2+By2=1(AB<0)
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解:
由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例6.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即
2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
几何画板演示第2题的轨迹
练习第1题详细答案
解:
在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为
作业