5.2.2 同角三角函数的基本关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（38张）

第五章三角函数
§5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
探要点·究所然
情境导学
大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.
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sin α
cos α
tan α
sin2α＋cos2α
30°

探究点一　同角三角函数的基本关系式
思考1　写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？
1
45°



60°

150°

1
1
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1
1
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1
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1
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tan 30°
tan 45°
tan 60°
tan 150°
正切
1
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思考2　如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
答　设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的距离为r＝
?
?
探究点二　三角函数式的求值
思考　已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：
类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解.
类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解.
类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.
例如：已知cos α＝m，且|m|<1，求sin α，tan α.
答　∵cos α＝m，且|m|<1，
当α终边在y轴上时，sin α＝±1，tan α不存在.
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如果α是第三象限角，那么cos α<0.
反思与感悟　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.
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又sin2α＋cos2α＝1， ②
又α是第三象限角，
探究点三　三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.
反思与感悟　解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.
跟踪训练2　已知tan α＝3，则
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(2)sin2α－3sin αcos α＋1＝ .
1
探究点四　三角恒等式的证明
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；
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∴原等式成立.
方法二　∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.
∴cos2α＝(1－sin α)·(1＋sin α).
∴原等式成立.
∵左边＝右边，∴原等式成立.
反思与感悟　证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.
∴原式成立.
∴左边＝右边，原式成立.
当堂测·查疑缺
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2
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cos 40°－sin 40°
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解　∵α是第三象限角，∴sin α<0，
由三角函数线可知－11
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∴原等式成立.
呈重点、现规律
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2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象写公式.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.