高中数学人教A版必修1第一章-1.3.1 函数的单调性课件（19张）

1.3 函数的基本性质
1.3.1函数的单调性
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
　　观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？
　　随x的增大，y的值有什么变化？
引 入
?画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1.从左至右图象上升还是下降 ____?
2.在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ．
f(x) = x
(-∞, +∞)
增大
上升
1.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．
2. 在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而 _____．
f(x) = x2
(-∞, 0]
(0, +∞)
增大
减小
?画出下列函数的图象，观察其变化规律：
x
0
1
2
3
4
…
f(x)=x2
0
1
4
9
16
…
?画出下列函数的图象，观察其变化规律：
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ．
2．减函数
如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间。
2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；这个区间是定义域的子集。
注意：
1.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.
（3）单调区间：针对自变量 x 而言的。
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间
例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数，
在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
二.典例精析
课本 32页 练习 第3题
练一练
作图是发现函数单调性的方法之一．
事实证明
思考：如何证明函数的单调性呢？
三、判断函数单调性的方法步骤
①取值： 任取x1，x2∈D，且x1②作差：f(x1)－f(x2)；
③化简变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④判号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
分析：利用增（减）函数的定义
例1：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
由x1即 f(x1)证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1=3( x1- x2)
于是 f(x1)-f(x2)<0
所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
取值
判号
化简变形
作差
下结论
　　物理学中的玻意耳定律 　 　告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
结论
作差
变形
例２
x
y
设x1,x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1f(x1)-f(x2)
又由x1即 f(x1) ＞ f(x2)
于是 f(x1)-f(x2) ＞ 0，
由x1、x2∈（0，+∞） ，得 x2 x1 ＞0
取值
化简
作差
判号
定论
练2.证明：函数 在 上是增函数.
证明：在区间 上任取两个值 ，且
，且
取值
化简
作差
判号
所以，函数 在 上是增函数.
下结论
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
在
增函数
在
减函数
在
增函数
在
减函数
在(-∞,+∞)是减函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数
在(-∞,+∞)是增函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数
y
o
x
o
x
y
四 知识延展
四、归纳小结
3.函数单调性的证明，证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论

2.会利用函数图像找出函数的单调区间
1.函数单调性的定义
?1.课本32页练习4、5，
P39 习题1．3 A组 第1、2、3题，
2.《3导》练习九，
3.预习课本30~32页内容，并思考什么事函
数的最值？
布置作业
再见