人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课件（24张PPT）

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = ______
w 元
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = ____
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ____
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=__________
是 的函数
ɑ?
ɑ?
V是ɑ的函数
t?? km/s
v是t 的函数
我们先来看几个具体的问题:
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长 ____
ɑ是S的函数
以上问题中的函数具有什么共同特征?
思考:
P
w
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
是 的函数
S
ɑ
幂函数
§ 2.3
（2）幂函数的解析式必须是 的形式，其特征可归纳为①指数为常数， ②底数为自变量，③ 的系数为1，④只有１项
一般地，函数　　　 叫做幂函数(power function) ，
其中 为自变量，　为常数.
[定义:]
说明:
（1）幂函数的定义域不固定，它与 的取值有关；
式子
名称
常数ɑ
自变量x
因变量y
指数函数: y= ɑx


幂函数:



底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点
看自变量x是指数还是底数
幂函数
指数函数
问题:
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
例1 判断下列函数是否为幂函数.
×
×
√
√
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(3) y= -x2
(5) y=2x2
(6) y=x3+2
练习
√
√
√
×
×
×
对于幂函数，我们只讨论 时的情形
在同一平面直角坐标系内作出
五个幂函数的图象.
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
结合图象，研究它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。
x
-3
-2
-1
0
1
2 3
y=x2
9
4
1
0
1
4 9
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1/3
-1/2
-1
1
1/2
1/3
(2,1/2)
(-2,-1/2)
x
-3
-2
-1
0
1
2 3
y=x3
-27
-8
-1
0
1
8 27
x
0
1
2
4
0
1
2
(4, 2)


y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性




公共点
奇函数
偶函数
非奇
非偶
(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表内:
在R
上增
在
［0，+∞）上增
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增
在(0，+∞)上减
奇函数
奇函数
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
(2,1/2)
(-2,-1/2)
　(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);
　(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；
　(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的性质
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3

（3）
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
<
<
>
>
比较大小：
练习
比较下列各组数的大小；
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
当不能直接进行比较时,
可在两个数中间插入一个中间数,
间接比较上述两个数的大小
注意
<
>
<
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调
性；
(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单
调性；
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数
中间插入一个中间数，间接比较上述
两个数的大小.
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
例4 证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 取值。设x1, x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;
(2). 作差 。f(x1)－f(x2)，化简 ;
(3). 定号。判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论。
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
方法技巧:
分子有理化
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
即
所以
1.下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3　　　　B．y＝x－3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
B
练习：
比较下列各组数的大小：
<
>
>
>
练习：
练习：
幂函数图像过点（　，4）求ｆ(2)的值。　
如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解:依题意,得
解方程,得 ： m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为
符合题意.当m=-1时,函数为
不合题意,舍去.所以m=2
思考题：
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
本节课知识结构:
课堂小结：

(1) 幂函数的定义；
(2) 幂函数的性质；
(3) 利用幂函数的单调性判别大小.
本节课知识内容:
作业：
优化学案64页：基础强化