人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程课件(7)（22张PPT）

圆的一般方程
O
C
M(x,y)
x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
特征：
直接看出圆心与半径
复习
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0

把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
展开，得
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
由于a,b,r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
是不是任何一个形如
x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程表示的曲线是圆呢？
探 究
尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形
（1）圆
圆心为（1，-2），半径为3
（2）点（1，-2）
（3）不表示任何图形
方程（1）并不一定表示圆
（3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
（2）x2+y2-2x+4y+5=0
配方可得：
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（ ）
为圆心，以( ) 为半径的圆.
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
y=-E/2，表示一个点（ ）.
动动脑
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（D2+E2-4F>0）
（1）a= ，b= ，r=
没有xy这样的二次项
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
2.圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
1.圆的一般方程:
1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
应 用
（2）
（3）
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
3. 圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是
练习
方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
待定系数法
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
x
y
O
E
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
几何方法
方法三：
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，
相关点法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 .
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以
即:
因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:
点M的轨迹方程
相关点法步骤：
例题3
已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线.
解：设M（x，y）是曲线上的任意一点,
则点M所属集合为：
即：
整理化简得：
配方得：
所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图）
y
x
.
O
.
.
（-1，0）
A(3,0)
M(x,y)
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离
的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0
的最小距离
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点
(1)求 的最小值
(2)求x2+y2的最大值与最小值
1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离
的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0
的最小距离
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点
(1)求 的最小值
(2)求x2+y2的最大值与最小值
4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线
使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出
直线方程
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 为半径为
3.方程形式的选用：
①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程
②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
2.一般方程 标准方程
配方
展开
作业
A组1、6，B组1、2、3
下课！