人教A版高中数学必修四第二章：2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件（18张PPT）

2.2.3向量的数乘运算
及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，首尾连
特点:共起点
B
A
O
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
复习回顾：
思考题1:已知向量 如何作出 和
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
思考题2: 向量 与向量 有什么关系? 向量
与向量 有什么关系?
(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即
(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即
（1）
（2）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；特别地，当 时，
实数与向量积的定义:
它的长度和方向规定如下：
实数 与向量 的积是一个向量，
记作 ,
实数与向量积的运算律：
结合律
分配律
分配律
设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
解: (1) 原式 =
(2) 原式 =
(3) 原式 =
例5、计算：
(1) (-3)×4 a
(2) 3( a+b) –2( a-b)-a
(3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )
(3-2-1)a+(3+2)b
= 5b
(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c
= -a+5b-2c
-12a
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
　　对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ ,
恒有 λ(μ1a±μ2b)=
λμ1a±λμ2b
因此，向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。
练习(5分钟)
P90 第5题
共线定理:
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa.
例6:
O
A
B
C
a
b
b
b
已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
b
a
共线定理应用
证明三点A、B、C共线方法：
例6:
解：作图如右
O
A
B
C
依图猜想:A、B、C三点共线
∴ A、B、C三点共线.
a
b
b
b
已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
b
a
∵ AB=OB-OA
∴ AC=2AB
又 AC=OC-OA
=a+3b-(a+b)=2b
=a+2b-(a+b)=b
又 AB与AC有公共点A，
共线定理应用
A
E
D
C
B
解：
=3 AC
=3( AB+ BC )
∵ AB+BC=AC
=3 AB+3 BC
又 AE=AD+DE
∴ AC与AE 共线
如图，已知AD=3AB、DE=3BC，证明A、C、E三点共线。
又∵
AC与AE 有公共点A
∴ A、C、E三点共线
试一试
A
D
B
M
C
如图:　 ABCD的两条对角线交于点M,且 , 你能用　，表示
　　　　　　　　吗？
例7:
练习
P90 第2、3、4题
作业布置:
P91 —P92：
第9(3)(4)题
第10、11、13题
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
课堂小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
（ C ）
分析:由 所以
在平行四边形ABCD中, , M为BC的
中点,则 等于＿＿＿＿＿＿
1、
2、
A
B
C
D
强化练习：
3. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
解：（1）因为
（２）
所以，所证等式成立
4．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：