(共12张PPT)
第四章
三角形
1 认识三角形
1 三角形的内角和
①由不在同一直线上的三条线段_____________所组成的图形叫做三角形．
②三角形三个内角的和等于_____．直角三角形的两锐角_____．
③三角形按内角分类，可分为_____三角形、_____三角形和_____三角形．
首尾顺次相接
180°
互余
锐角
直角
钝角
三角形
1．(4分)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点．
(1)以AC为边的三角形共有__个．它们是________________________．
(2)∠BCE是△_____和△_____的内角．
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是____．
3
△ACE，△ACD，△ACB
BCE
DCE
CE
2．(4分)如图所示，∠A＝40°，则∠1＋∠2＋∠B＋∠C的度数为(
)
A．100°
B．200°
C．280°
D．300°
3．(4分)若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则这个三角形(
)
A．一定有一个内角是45° B．一定有一个内角是60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
三角形的内角和
C
A
C
解：由∠A＝36°，∠C＝72°，可知∠ABC＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝
∠ABC＝
×72°＝36°
4．(4分)(2015·滨州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C＝等于(
)
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
5．(6分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝
72°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数．
6．(6分)若△ABC的一个内角是另一个内角的
，也是第三个内角的
，求三角形三个内角的度数．
解：依题意得：∠A＝
∠B，∠A＝
∠C，∴∠B＝
∠A，∠C＝
∠A，∵∠A＋
∠B＋
∠C＝180°.∴∠A＋∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝48°.∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°
直角三角形的两个锐角互余
7．(4分)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A等于_____．
8．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有(
)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
9．(4分)如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A＝_____．
52°
C
50°
第9题图
一、选择题(每小题4分，共8分)
10．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(
)
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
11．(2015·绵阳)如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(
)
A．118°
B．119°
C．120°
D．121°
C
C
二、填空题(每小题4分，共12分)
12．一个三角形中最多有__个内角是钝角，最多可有__个角是锐角．
13．如图，在△ABC中，∠B＝66°，
∠C＝54°，AD是∠BAC的平分线，
DE平分∠ADC交AC于E，则
∠BDE＝_____．
14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为____．
1
3
132°
30°
三、解答题(共40分)
15．(8分)如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数．
解：∵BD，CE分别是AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BEH＝90°，∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∠BHE＝90°－∠ABD＝60°，∴∠BHC＝180°－∠BHE＝120°
16．(10分)一个零件的形状如图所示，按规定∠A应该等于90°，∠B，∠D应分别为20°和30°，李叔叔量得∠BCD＝143°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的理由吗？
解：不合格．理由：延长BC交AD于点E，∠DEC＝∠A＋∠B＝110°，∠DCB＝∠D＋∠DEC＝140°
≠
143°，∴这个零件不合格
17．(10分)如图，△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°
又∵∠1＝∠2，
∴∠BCP＝∠ABP∴∠2＋∠BCP＝70°
∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝110°
【综合应用】
18．(12分)如图所示，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．
解：∵∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，
∴∠1＋∠2＝2[180°－(∠CEF＋∠CFE)]＝2∠C，
即∠1＋∠2＝2∠C(共13张PPT)
第四章
三角形
1 认识三角形
2 三角形的三边关系
①有两边_____的三角形叫做等腰三角形．
②三边都_____的三角形是等边三角形，也叫___三角形．
③三角形任意两边之和_____第三边；三角形任意两边之差_____第三边．
相等
相等
正
大于
小于
三角形的三边关系
1．(2分)下列说法正确的是(
)
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
2．(2分)三角形按边可分为(
)
A．等腰三角形，直角三角形，锐角三角形
B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形
D．等腰三角形，等边三角形
D
C
3．(2分)(2015·大连)下列长度的三条线段能构成三角形的是(
)
A．1，2，3
B．1，
，3
C．3，4，8
D．4，5，6
4．(2分)如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是(
)
A．2
B．3
C．4
D．8
5．(2分)一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(
)
A．3
＜
x
＜
11
B．4
＜
x
＜
7
C．4
＜
x
＜
1
D．x＞3
6．(2分)已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(
)
A．2个
B．3个
C．5个
D．13个
D
C
A
B
7．(3分)已知等腰三角形的两边长分别是7和3，则下列四个数中，是第三条边的长是(
)
A．8
B．7
C．4
D．3
8．(3分)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长分别为____________．
9．(3分)若三角形的两边长分别为6，7，则第三边长a的取值范围是___________．
10．(3分)一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为______．
B
6和4或5和5
1
＜
a
＜
13
7或9
11．(8分)某木材市场上木棒规格和价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度为3
m和5
m的木棒，还需要到木材市场上购买一根，问：
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)选择哪一种规格的木棒最省钱？
解：(1)有4种规格的木棒可供选择，即3
m，4
m，5
m，6
m
(2)选择3
m的木棒最省钱
12．(8分)一个三角形的两边长分别为b＝4，c＝7，试确定第三边长a的取值范围，当各边长均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长是多少？
解：3
＜
a
＜
11，当a取整数时，即a＝4，5，6，7，8，9，10，共7个三角形；当a＝4或a＝7时，均为等腰三角形；三边长分别为4，4，7或4，7，7
一、选择题(每小题3分，共24分)
13．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16
m，PB＝12
m，那么AB间的距离不可能是(
)
A．5
m
B．15
m
C．20
m
D．28
m
14．(2015
·青海)已知三角形两边长分别为4和10，则该三角形第三边的长可能是(
)
A．5
B．6
C．12
D．16
D
C
15．下列说法正确的个数有(
)
①三角形包括：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形；②等边三角形包含等腰三角形；③三角形任意两边之和一定大于第三边；④三角形三边的长度不可能是3，3，2．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有(
)
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
17．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为(
)
A．8或10
B．8
C．10
D．6或12
A
C
C
18．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是(
)
A．14
B．15
C．16
D．17
19．已知a，b，c是△ABC的三条边，且(a＋b＋c)(a－b)＝0，则△ABC一定是(
)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．以上答案都不对
20．三角形两边长分别是4和11，第三边长为3－6m，则m的取值范围是(
)
A．－2＜m＜
B．m＞－2
C．－2≤m≤
D．
＜m＜－2
B
A
A
二、填空题(每小题3分，共3分)
21．已知一个三角形的两边长分别是2
cm，13
cm，其第三边为偶数，则第三边长为______________．
三、解答题(共33分)
22．(10分)在△ABC中，AB＝9，BC＝2，并且AC的长为奇数，那么△ABC的周长为多少？
解：根据三角形三边关系有AB－BC
＜
AC
＜
AB＋BC，所以9－2
＜AC＜9＋2，即7
＜
AC
＜
11，又因为AC长为奇数，所以AC＝9.所以△ABC的周长为9＋9＋2＝20
12
cm或14
cm
23．(11分)已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
|a＋b－c|＋|b－c－a|－|c－a－b|．
解：由三角形的三边关系知：
a＋b－c＞0，b－c－a＝b－(c＋a)
＜
0，c－a－b＝c－(a＋b)
＜
0
所以|a＋b－c|＋|b－c－a|－|c－a－b|＝a＋b－c＋a＋c－b－a－b＋c＝a－b＋c
【综合应用】
24．(12分)用一条长为35
cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为7
cm的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x
cm，则腰长为3x
cm，由3x＋3x＋x＝35，得x＝5，所以等腰三角形的各边长分别为5
cm，15
cm，15
cm
(2)若底边长为7
cm，则腰长为
(35－7)＝14(cm)，因为14
cm
＋14
cm＞7
cm.此种情况成立；若腰长为7
cm，则底边长为35－7×2＝21(cm)，因为7
cm＋7
cm＜21
cm，此种情况不成立，故能围成有一边长为7
cm的等腰三角形(共12张PPT)
第四章
三角形
1 认识三角形
3 三角形的中线、角平分线和高
①在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的_____．
②在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的_________．
③从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的_____．
④三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的_____；三角形的三条角平分线交于_____；三角形的三条高所在的直线交于_____．
中线
角平分线
高线
重心
一点
一点
三角形的中线
1．(4分)如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是(
)
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．∠C的对边是DC
2．(4分)如图，AD是△ABC的BC
边上的中线，则S△ABD___S△ACD．
(填“＞”“＜”或“＝”)
D
＝
三角形的角平分线
3．(4分)如图所示，D是BC的中点，
E是AC的中点，若S△ADE＝1，
则S△ABC＝__．
4．(4分)如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为(
)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
4
A
三角形的高
5．(4分)如图，AD是△ABC的角平分线(点D在BC所在的直线上)，那么∠BAD＝________＝
________．
6．(4分)在△ABC中，点O是△ABC的角平分线AD与角平分线BE的交点，若∠BAC＝68°，那么∠BOC＝_____．
7．(4分)有两条高在三角形外部的三角形是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
8．(4分)三角形的三条高所在直线的交点一定在(
)
A．三角形的内部
B．三角形的外部
C．三角形的内部或外部
D．三角形的内部、外部或顶点
∠CAD
∠BAC
124°
B
D
9．(4分)(2015·长沙)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(
)
A
10．(4分)如图，BD，CE分别是△ABC的边AC，AB边上的高，下面的结论中，错误的是(
)
①∠1＝∠4；②∠BFC＝2∠1＋∠A；③∠A＋∠EFD＝180°；④∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°．
A．仅为①③
B．仅为②
C．仅为①④
D．没有
D
一、选择题(每小题4分，共12分)
11．如图，∠1＝
∠ABC，∠2＝∠3，下列结论中错误的是(
)
A．BM是△ABC的角平分线
B．AD是△ABC的角平分线
C．点M是△ABC中三内角平分线的交点
D．BM是△ABD的角平分线
12．下列说法正确的是(
)
A．三角形的角平分线就是三角形内角的角平分线
B．三角形的三条高交于一点
C．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
D．三角形的重心就是三角形的三条中线的交点
A
D
13．等腰三角形的周长为18
cm，一腰的中线将周长分成2∶1的两部分，则三角形的底边长为(
)
A．6
cm
B．10
cm
C．10
cm或2
cm
D．2
cm
二、填空题(每小题4分，共8分)
14．如图，BO，CO
分别是∠ABC，
∠ACB的角平分线，过O点作DE∥BC，
若∠A＝80°，∠ABC＝40°，
则∠DOB＋∠EOC＝____．
15．已知AD是△ABC的一条高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为___________．
D
50°
50°或90°
三、解答题(共40分)
16．(8分)已知AD为△ABC的中线，AB＝5
cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2
cm，求AC的长度．
17．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？
解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∵△ACD的周长比△ABD的周长少2
cm，∴(AB＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝2
cm，∴AC＝AB－2＝5－2＝3(cm)
解：∵S△ABC＝
BC·AD＝
×12×6＝36，
又∵S△ABC＝
AC·BE，∴
×8×BE＝36，
解得BE＝9
18．(10分)如图，∠B＝∠BAC，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，∠AED＝60°，求∠B和∠CAD的度数．
解：因为∠AED＝60°，所以∠BEA＝180°－60°＝120°，
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠EAC＝
∠BAC，因为
∠B＝∠BAC，所以∠BAE＝
∠B.设∠BAE＝x°，则∠B＝
2x°，∠EAC＝x°，所以x＋2x＋120＝180，解得x＝20，所以∠B＝40°，因为AD⊥BD，所以∠EAD＝30°，所以∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝10°
【综合应用】
19．(12分)如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4
cm2，求阴影部分的面积S阴影．
解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝
S△ABC＝
×4＝2(cm2)．∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝ S△ABD＝
1
cm2，S△CDE＝
S△ACD
＝1
cm2．∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2
cm2．
又∵F是CE的中点，∴S阴影＝ S△BEC＝1
cm2(共12张PPT)
第四章
三角形
2 图形的全等
①_____________的两个图形称为全等图形．全等图形的形状和大小都_____，面积_____．
②_____________的两个三角形叫做全等三角形．两个全等三角形中互相重合的顶点叫做对应_____，重合的角叫做对应___，重合的边叫做对应___．全等三角形的对应边_____，对应角_____．
能够完全重合
相同
相等
能够完全重合
顶点
角
边
相等
相等
全等图形
1．(4分)下列图形中的全等图形是_________________
_______________(填各对全等图形的序号)
①和⑩，②和?
，
④和⑧，⑤和⑨
2．(4分)对于A，B两个图形，给出以下条件：
①这两个图形形状相同；②这两个图形形状不同，但大小相同；③这两个图形形状大小均相同；④这两个图形叠在一起能完全重合.
其中不能推出这两个图形全等的条件是_____．(填序号)
3．(4分)如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5
cm，BC＝1
cm，则AF＝_____．
①②
6
cm
4．(4分)下列说法中，正确的个数有(
)
①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形；
②我国国旗上的四颗小五角星是全等图形；
③所有的正六边形是全等图形；
④面积相等的两个正方形是全等图形．
A．1个
B．2个C．3个
D．4个
5．(4分)△ABC≌△DCB，且AB＝DC，则另外两组对应边为__________________，对应角为_________________
________________________________．
C
AC＝DB，BC＝CB
∠ACB＝∠DBC，∠BAC＝∠CDB
∠ABC＝∠DCB，
全等三角形
第6题图
第7题图
第8题图
6．(4分)如图，已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为17，若AB＝5，BC＝7，则DF的长为__．
7．(4分)如图，△ABC≌△ADE，AC＝5
cm，AB＝8
cm，BC＝7
cm，则AD的长是(
)
A．7
cm
B．5
cm
C．8
cm
D．无法确定
8．(4分)如图，△ABC≌△ADE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD等于(
)
A．75°
B．57°
C．55°
D．77°
5
C
D
9．(4分)下列说法错误的是(
)
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点
D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角
10．(4分)如图，已知△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是(
)
A．∠1＝∠2
B．AB＝CD
C．∠D＝∠B
D．AC＝BC
C
D
一、选择题(每小题5分，共15分)
11．在下列图形中，不全等的为(
)
D
12．如图，△ABC
中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝(
)
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
13．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确结论的个数有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
C
二、填空题(每小题5分，共15分)
14．如图，若△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠D＝____，∠F＝____，∠E＝______．
15．已知△ADE≌△BCF，AD＝6，DE＝8，AE＝12，则△BCF中最长的边是____，最短的边是____．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB边上的点，若△ACD≌△AED≌△BED，则∠B的度数为____．
50°
30°
100°
BF
BC
30°
三、解答题(共30分)
17．(8分)如图，A，D，E三点在一条直线上，且△BAD≌△ACE.试说明：BD＝DE＋CE.
18．(10分)如图，△ABF≌△CDE，∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边．
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边；
(2)若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
(3)若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
解：∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE，又∵AE＝AD＋DE，∴BD＝ED＋CE
解：(1)∠BAF＝∠DCE，∠AFB＝∠CED，AB＝CD，BF＝DE (2)70° (3)BF＝6
【综合应用】
19．(12分)如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数．
解：80°(共16张PPT)
第四章
三角形
3 探索三角形全等的条件
1 边边边(SSS)
①三边分别____的两个三角形全等，简写为“_______”或“____”．
②
三角形三边的长度一旦确定，这个三角形的形状和大小就_________，三角形的这个性质叫做三角形的_______，而四边形则具有_________．
相等
边边边
SSS
完全确定
稳定性
不稳定性
利用“边边边”判定三角形全等
1．(4分)如图，点B，C，D，E在一条直线上，且BC＝DE，AC＝FD，AE＝FB，则△ACE≌________，理由是_____；∠ACE＝________，理由是________________________．
△FDB
SSS
∠FDB
全等三角形的对应角相等
2．(4分)如图，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(
)
A．110° B．40° C．30° D．20°
3．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可判定(
)
A．△ABC≌△ACD
B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE
D．以上答案都不对
第3题图
第2题图
C
B
4．(4分)如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是(
)
A．AB＝BC
B．DC＝BC
C．AB＝CD
D．以上都不对
5．(4分)如图，AB＝CD，AD＝BC，则下列结论不正确的是(
)
A．∠A＝∠C
B．AB∥CD
C．AD∥BC
D．BD平分∠ABC
第4题图
第5题图
C
D
6．(8分)如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，试说明△AEB≌△ADC．
解：因为BD＝CE，所以BD－ED＝CE－ED，即BE＝CD．在△AEB和△ADC中，AB＝AC，AE＝AD，BE＝CD，所以△AEB≌△ADC(SSS)
三角形的稳定性
7．(4分)(2015·宜昌)下列图形具有稳定性的是(
)
A．正方形
B．矩形
C．平行四边形
D．直角三角形
8．(4分)如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用几何原理是(
)
A．三角形的稳定性
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
D
A
9．(4分)下列图形中具有稳定性的个数有(
)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
C
一、选择题(每小题4分，共8分)
10．如图，AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF，∠B＝55°，则∠C等于(
)
A．45°
B．55°
C．35°
D．65°
11．如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上两点，且AE＝CF，DF＝BE，那么图中共有全等三角形(
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
B
C
二、填空题(每小题4分，共16分)
12．如图，AB＝AC，要用“SSS”说明△ABD≌△ACD，还需要添加条件：_________．
13．如图，点B是AC的中点，BE＝CF，AE＝BF，那么△ABE≌________，根据是_____，∠A＝________．
BD＝CD
△BCF
SSS
∠FBC
14．如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝FC，AC＝DF，则线段AC与DF的位置关系为_________．
15．如图所示，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_____．
AC∥DF
66°
三、解答题(共36分)
16．(8分)雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE
＝OF，AE＝
AB，AF＝
AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，
问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
解：∠BAD＝∠CAD．
理由：∵AB＝AC，AE＝
AB，AF＝
AC，∴AE＝AF．
在△AOE和△AOF中，
∴△AOE≌△AOF(SSS)，
∴∠EAO＝∠FAO，即∠BAD＝∠CAD
AO＝AO
AE＝AF
OE＝OF
17．(8分)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠3＝∠1＋∠2．
证明：
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，
∵∠3＋∠ADB＝180°，
∠ADB＋∠BAD＋∠ABD＝180°，
∴∠3＝∠BAD＋∠ABD，
∴∠3＝∠1＋∠2
AB＝AC
AD＝AE
BD＝CE
18．(10分)如图，已知AB＝DC，DB＝AC．
(1)求证：∠B＝∠C；(注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据)
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
(1)证明：连接AD，在△BAD和△CDA中，
∵ ∴△BAD≌△CDA(SSS)．
∴∠B＝∠C(全等三角形对应角相等)
(2)解：作辅助线的意图是构造全等的三角形
AB＝CD
DB＝AC
AD＝DA
【综合应用】
19．(10分)八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图所示)，设计了如下方案：
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P放在射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与OA，OB相交，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上
分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于
射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相
同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角
尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？请说明理由．
解：方案(Ⅰ)不可行，缺少证明三角形全等的条件；方案(Ⅱ)可行，理由如下：
在△OPM和△OPN中，∵
∴△OPM≌△OPN(SSS)，
∴∠AOP＝∠BOP
OM＝ON
PM＝PN
OP＝OP(共13张PPT)
第1课时 角边角(ASA)与角角边(AAS)
第四章
三角形
3 探索三角形全等的条件
①两角及其夹边分别相等的两个三角形_____，简写成“_______”或“_____”．
②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形______，简写成“_______”或“_____”．
全等
角边角
ASA
全等
角角边
AAS
利用“角边角”判定三角形全等
1．(4分)如图，AB＝AC，利用ASA证明△ABE≌△ACD，应添加的条件是__________．(添加一个条件即可)
2．(4分)如图，已知BD＝CF，∠B＝∠F，AC∥DE，下列结论不正确的是(
)
A．FD＝BC
B．EF＝CB
C．EF∥AB
D．∠A＝∠E
∠B＝∠C
B
3．(4分)如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是(
)
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①②去
4．(8分)如图：点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE＝BF．
C
证明：∵AE∥BF，CE∥DF，∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA．又∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC．即AC＝BD，∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF
利用“角角边”判定三角形全等
5．(4分)如图，已知∠A＝∠D，AB＝CD，可得△ABO≌________，理由是______．
6．(4分)如图，AC和BD交于O点，若OA＝OD，利用“AAS”证明△AOB≌△DOC，可以添加(
)
A．AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠B＝∠C
D．∠A＝∠D
△DCO
AAS
C
7．(4分)如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论中不正确的是(
)
A．∠EAC＝∠FAB
B．BE＝CF
C．△ACN≌△ABM
D．CN＝FN
8．(8分)如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：△ABC≌△AED.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
又∵∠C＝∠D，AB＝AE，∴△ABC≌△AED(AAS)
D
一、选择题(每小题5分，共20分)
9．如图，已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(
)
A．甲、乙
B．乙、丙
C．只有乙
D．只有丙
B
10．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，要使△ABC≌△DEF(如图)，则下列补充的条件中，错误的是(
)
A．∠ACF＝∠DEB
B．∠A＝∠D
C．∠ACB＝∠F
D．AC∥DF
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B，C两点作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4，CE＝3，则DE的长为(
)
A．6
B．7
C．8 D．以上都不对
A
B
12．如图，AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，BD，AC交于点O，EF是过点O的线段，分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形有(
)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
D
二、填空题(每小题5分，共10分)
13．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，当添加一个条件________________________________后，利用AAS得到△ABC≌△ABD．
14．如图，AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE＝_____．
125°
∠CBA＝∠DBA或∠CAB＝∠DAB
三、解答题(共30分)
15．(8分)如图，AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，且∠1＝∠2，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由．
解：AC＝BD．
理由：∵AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，∴∠CAB＝2∠1，∠DBA＝2∠2，
又∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DBA．
在△ABC与△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(ASA)，∴AC＝BD
∠2＝∠1
AB＝BA
∠CAB＝∠DBA
16．(10分)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB＝OC．
证明：
先证△AOD≌△AOE(AAS)，∴OD＝OE，
再证△BOC≌△COE(ASA)，∴OB＝OC
【综合应用】
17．(12分)如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，D为AB边上一点，AF⊥CD交CD的延长线于点F，BE⊥CD于点E，试说明：EF＝CF－AF．
解：∵AC⊥BC，AF⊥FC，
∴∠ACB＝90°，∠F＝90°，
则∠ACF＋∠BCE＝90°，
∵BE⊥FC，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACF＝∠CBE，△AFC≌△CEB(AAS)，∴AF＝CE，又∵EF＝CF－CE，
∴EF＝CF－AF(共14张PPT)
第四章
三角形
第3课时 边角边(SAS)
3 探索三角形全等的条件
①两边及其夹角分别相等的两个三角形_____，简写成“_______”或“_____”．
②两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等，两个三角形_______全等．
全等
边角边
SAS
不一定
利用“边角边”判定三角形全等
1．(3分)如图，已知AF＝BE，∠A＝∠B，AC＝BD，经分析________≌________，根据是_____．
2．(3分)(2015·娄底)如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__________________________．
△AFD
△BEC
SAS
∠ABD＝∠CBD或AD＝CD
3．(3分)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，AB，CD相交于点M，AC，BE相交于点N，BE，CD相交于点F，∠DAB＝∠EAC，则图中全等三角形共有___对．
4．(3分)如图，已知点A，D，C，F在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是(
)
A．∠BCA＝∠F
B．∠B＝∠E
C．BC∥EF
D．∠A＝∠EDF
4
B
5．(4分)如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充条件后，能直接应用“SAS”判断△ABC≌△DEF的是(
)
A．∠ACB＝∠F
B．BE＝CF
C．AC＝DF
D．∠A＝∠D
6．(4分)如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则图中的全等三角形有(
)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
B
B
第5题图
第6题图
7．(8分)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．试说明∠A＝∠D．
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，
∴BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠A＝∠D
满足“边边角”的两个三角形不一定全等
8．(4分)能判定△ABC≌△A′B′C′全等的条件是(
)
A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
C．AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′
9．(4分)如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，补充下列条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是(
)
A．AD＝AE
B．∠AEB＝∠ADC
C．BE＝CD
D．DB＝CE
D
B
10．(4分)在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，再添加一个条件：①AC＝DF；②BC＝EF；③∠B＝∠E；④∠C＝∠F．能推出△ABC≌△DEF的个数有(
)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
一、选择题(每小题5分，共20分)
11．如图，若AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
则△ABC≌△ADC，全等的依据是(
)
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
12．如图，在∠AOB的两边上截取OA＝OB，OC＝OD，连接AD，BC交于点P，连接OP，则下列结论中正确的是(
)
①△APC≌△BPD；②△ADO≌△BCO；
③△AOP≌△BOP；④△OCP≌△ODP．
A．①②③④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
B
A
13．下列说法中，正确的是(
)
A．所有的等腰三角形全等
B．有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
D．腰和顶角都对应相等的两个等腰三角形全等
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(
)
A．45°
B．55°
C．75°
D．60°
D
D
二、填空题(每小题5分，共10分)
15．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的条件_________________________________________，使△ABC≌△DBE．(只需添加一个即可)
16．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，有下列说法：①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC，其中正确的是__________．(填序号)
∠BDE＝∠BAC或∠ACB＝∠DEB或BE＝BC
①②③④
三、解答题(共30分)
17．(8分)如图，点M，N在线段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD．求证：∠1＝∠2．
证明：
先证△ABN≌△CDM(SAS)，再证△BMN≌△DNM(SAS)
18．(10分)如图，AD＝AE，BD＝CE，AF⊥BC，且F是BC的中点，求证：∠D＝∠E．
证明：连接AB，AC，
∵F为BC的中点，∴BF＝CF，
又∵AF⊥BC，∴∠BFA＝∠AFC＝90°，
在△ABF和△ACF中，
∴△ABF≌△ACF(SAS)，∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE，∴∠D＝∠E
AF＝AF
∠BFA＝∠AFC
BF＝FC
AD＝AE
BD＝CE
AB＝AC
【综合应用】
19．(12分)如图，在△ABC中，∠A＝55°，且∠B＝∠C，
点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF．求∠DEF的度数．
解：先证△BED≌△CFE(SAS)，∴∠BED＝∠CFE，∠B＝∠C＝62.5°，∠FEC＋∠BED＝117.5°，∴∠DEF＝180°－(∠FEC＋∠BED)＝180°－117.5°＝62.5°(共12张PPT)
第四章
三角形
4 用尺规作三角形
①作一个三角形需要__________，按所给的已知条件，依据____________的判定方法作符合要求的三角形．
②用尺规作三角形，主要有三种情形：A.已知三角形的两边及其_____，求作这个三角形；B.已知三角形的两角及其_____，求作这个三角形；C.已知三角形的___条边，求作这个三角形．
三个元素
三角形全等
夹角
夹边
三
用尺规作三角形
1．(4分)用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是(
)
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
2．(4分)如图，小强做试题时，不小心把
题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他
想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，
然后粘贴在上面，他作图的依据是(
)
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
C
C
3．(4分)如图所示，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出(
)
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
4．(4分)已知两角及其夹边作三角形，
所用的基本作图方法是(
)
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
B
C
5．(4分)利用基本作图，不能作出唯一三角形的是(
)
A．已知三边
B．已知两边及其夹角
C．已知两角及其夹边
D．已知两边及其中一边的对角
6．(4分)利用尺规作图，在下列条件中不能作出唯一直角三角形的是(
)
A．已知两个锐角
B．已知一直角边和另一直角边所对的锐角
C．已知两条直角边
D．已知一个锐角和斜边
D
A
7．(4分)如图，尺规作图作∠AOB的角平分线方法如下：以点O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D两点，再
分别以点C，D为圆心，大于
CD长为半径画弧，两弧交于
点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是(
)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．(4分)如图所示，说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是全等三角形的________相等，其全等的依据是_____．
D
对应角
SSS
第7题图
第8题图
9．(4分)用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是_____．
10．(4分)已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使BC＝a，CA＝b，∠ACB＝∠α则作法的合理顺序为__________．(填序号)
①在射线CM上截取CA＝b；
②作一条线段BC＝a；
③以点C为顶点，以CB为一边，作∠BCM＝∠α；
④连接AB，△ABC就是所要求作的三角形．
SAS
②③①④
一、选择题(每小题5分，共20分)
11．若给定的三个条件画一个三角形，图形唯一，则所给条件不可能是(
)
A．两边一夹角
B．两角一夹边
C．三边
D．两边及其中一边对角
12．你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？如图，由尺规作图知，OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，所以△OCD≌△O′C′D′，所以∠DOC＝∠D′O′C，这一作图的依据是(
)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
D
D
13．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m，作法合理的顺序依次为(
)
①延长CD到点B，使BD＝CD；②连接AB；③作△ADC，使DC＝
a，AC＝b，AD＝m.
A．③①②
B．①②③
C．②③①
D．③②①
14．如图，已知△ABC，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有(
)
A．∠ADC与∠BAD相等
B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补
D．∠ADC与∠ABC互余
A
B
二、填空题(每小题5分，共10分)
15．我们知道只要三角形的三边长度确定了，那么它的形状和大小是固定不变的，这说明三角形具有_____性；作一个三角形，使它与已知三角形全等理论依据有_______________________．
16．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段的长，则作图的依据是_____．
三、解答题(共30分)
17．(8分)作一个△ABC，使其三边长分别为3
cm，4
cm和5
cm.(保留作图痕迹)
稳定
SSS，SAS，ASA，AAS
解：作图略（提示：根据SSS作图）
SSS
18．(10分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，c，∠β(如图)．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠β．
点拨：先作∠MBN＝∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC＝a，AB＝c，连接AC即可．
【综合应用】
19．(12分)如图，一个四边形的一个角被墨水污染了，现在要在它旁边作一个与它全等的四边形，你知道怎么办吗？请你画出此四边形．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形(共12张PPT)
第四章
三角形
3 利用三角形全等测距离
在实际生活中，有些距离是不能直接测量的，我们可以利用___________来间接测量，即构造全等三角形，利用“全等三角形的___________”，把不能直接测量的线段转化为易测量的线段．
三角形全等
对应边相等
利用全等三角形测量两点之间的距离
1．(4分)如图，将两个相同的机器零件AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，又知道A′B′＝50
cm，则AB等于(
)
A．50
cm
B．40
cm
C．100
cm D．无法确定
2．(4分)如图，小强利用全等三角
形的知识测量池塘两端点M，N之
间的距离，如果△PQO≌△NMO，
则只需测出其长度的线段是(
)
A．PO
B．PQ
C．MO
D．MQ
第1题图
第2题图
A
B
3．(4分)如图，AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB，CD的中点，经测量AC＝15
cm，则容器的内径是(
)
A．12
cm
B．13
cm
C．14
cm
D．15
cm
4．(5分)如图所示，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100
m，则A，B两点间的距离(
)
A．大于100
m
B．等于100
m
C．小于100
m
D．无法确定
D
B
5．(5分)要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是(
)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．SSA
6．(5分)如图，有两个滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等，测得BC＝2.5米，则EF＝______．
B
2.5米
7．(5分)如图，有一个长方形窗架，盖房子时为了不变形，在上面钉了两根木条GE与GF，且E，F，G分别是AD，BC，AB的中点，于是得到GE＝GF，理由是________________________．
8．(8分)如图所示为人民公园的荷花池，现在测量荷花池
两旁A，B两棵树间的距离(不能直接测出)．请你根据所学
的知识设计一种测量方案，并说明设计的理由．
解：方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连接AC并延长至点D，使AC＝DC，连接BC并延长BC至点E，使EC＝BC，连接DE，用米尺测量出DE的长即A，B两点间的距离(图略)．
理由：在△ABC和△DEC中，
AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
所以△ABC≌△DEC(SAS)，所以AB＝DE
全等三角形的对应边相等
第7题图
第8题图
一、选择题(每小题6分，共12分)
9．池塘两边有A，B两点，想知道A，B两点之间的距离，但又无法直接测量，于是有人想出办法，利用三角形全等解决这个问题，但是在选择全等三角形的判定方法中，不能采用的是(
)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
10．如图，为了测量水池两边A，B之间的距离，可以先过点A作射线AE，再过点B作BD⊥AE于点D，在AD的延长线
上截取DC＝AD，连接BC，则BC的长就是A，B间
的距离，用来判断△ABD≌△CBD的理由是(
)
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
D
B
二、填空题(每小题6分，共18分)
11．如图所示，A，B在一水池的两侧，A，E，C与B，E，D
三点分别在一条直线上，若测得BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，CD＝8
m，则水池宽AB＝__
m．
12．如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，如果同一时刻两根旗杆在太阳照射下的影长相等，若已知AB＝10
米，那么旗杆A′B′＝___米．
8
10
13．教室里固定放着几盆花，如图(1)，测这几盆花两旁的点A，B间的距离不方便，因此，选A，B都能到达的一点O，如图(2)，连接BO并延长BO到点C，使CO＝BO，连接AO并延长AO到点D，使DO＝AO，那么C，D两点间的距离就是A，B两点间的距离．
解：因为在△COD和△BOA中，
所以△COD≌△BOA(_____)，所以CD＝____．所以只
要测出C，D两点间的距离就可知A，B两点之间的距离
AB
AO＝AO
AE＝AF
OE＝OF
SAS
三、解答题(共30分)
14．(8分)如图，A，B两建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC＝CD，过点D作DE⊥MN，使点A，C，E在同一条直线上，则DE的长就是A，B两建筑物之间的距离，请说明理由．
解：根据题意，在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，所以△ABC≌△EDC(ASA)，所以AB＝DE(全等三角形的对应边相等)
15．(10分)某市新开发一个旅游景点，湖心有一个小岛C，现需要在湖心小岛C上修建一个度假村，因此要测量点A，B到点C的距离，设计人员拟出下列方案：画出∠BAM＝∠CAB，∠ABN＝∠ABC．射线AM与射线BN交于点D，于是只需量出AD，BD的长，就知道AC，BC的长，这个方法可行吗？根据是什么？你还能设计出其他方案吗？
解：可行，根据ASA可得△ABC≌△ABD，则AC＝AD，BC＝BD，其他方案略
【综合应用】
16．(12分)如图所示，湖岸边竖立着A，B两根电线杆，现想在两根电线杆间架一条电话线路，需测量出A，B间的距离，但是A，B间的距离又不能直接测量，你能用已学的知识和方法设计测量方案，求出A，B间的距离吗？并说明理由．
解：方案：先在平地上取一个可以直接到达A点和B点的C点，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，则DE的长度即AB的长度．(方案不唯一) 理由：因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，所以△ACB≌△DCE(SAS)，所以DE＝AB(共9张PPT)
第四章
三角形
专题(三) 判定三角形全等的基本思路归纳
类型一 已知两边对应相等
1．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌
△DCB，则只需添加一个适当的条件：__________________________．
2．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，请添加一个条件：________________，使△ABC≌△ADE并说明理由．
理由：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)．(答案不唯一)
AB＝DC(或∠ACB＝∠DBC)
∠BAD＝∠CAE
3．如图，C为AB的中点，CD＝BE，CD∥BE，△ACD与△CBE全等吗？为什么？
解：全等
理由：∵C是AB的中点，∴AC＝CB．∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B．
在△ACD和△CBE中，
AC＝CB，∠ACD＝∠CBE，CD＝BE，∴△ACD≌△CBE(SAS)
类型二 已知一边一角对应相等
4．如图，点D，E分别在线段AB，AC
上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要
使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件
是_________．(只要写一个即可)
5．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明理由．(不再添加辅助线和字母)
条件：AC＝DF．理由：∵BF＝EC，
∴BF－CF＝EC－CF，∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
AC＝DF，∠1＝∠2，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．(答案不唯一)
AB＝AC
6．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请说明△ABC与△DEC全等的理由．
解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠5．
在△ACD中，∠ACD＝90°，
∴∠2＋∠D＝90°．
∵∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠D．
在△ABC和△DEC中，
∠1＝∠D，∠3＝∠5，BC＝EC，∴△ABC≌△DEC(AAS)
类型三 已知两角对应相等
7．如图，∠B＝∠D，∠DAB＝∠CAE，请补充
一个条件：______________________________，
使△ABC≌△ADE．
8．如图，已知CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F，你能说明△BDF和△CDE全等吗？若能，请说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件：__________，来说明这两个三角形全等，并写出理由．
解：不能．添加的条件是BD＝DC
理由：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED．
∵∠BDF＝∠CDE，BD＝DC，∴△BDF≌△CDE.
AD＝AB(或AE＝AC或DE＝BC)
BD＝DC
类型四 全等基本图形归纳(平移、旋转、翻折)
9．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明△ABC≌△AED．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△AED中，
∠C＝∠D，∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴△ABC≌△AED(AAS)
10．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，试说明△ABD≌△AEC．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△AEC中，
AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，AB＝AE，∴△ABD≌△AEC(SAS)
11．如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并说明理由．
解：有，△ABN≌△AEM．
理由：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠DAB＝90°．
∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，
∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠EAN＝∠C＝90°．
∴AB＝AE，∠B＝∠E，∠DAB＝∠EAN，
即∠BAN＋∠NAM＝∠EAM＋∠NAM，
∴∠BAN＝∠EAM．在△ABN与△AEM中，
∠B＝∠E，AB＝AE，∠BAN＝∠EAM，
故△ABN≌△AEM(SAS)
