北师大版七年级数学上册单元练习第二章有理数及其运算（word版含解析）

第二章有理数及其运算
一、选择题
（2019·无锡市锡山区·期末）如图，在
中，，，，点
是
上的一点，点
是
上的一点，，当
与
中的一个角相等时，则
的值为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
（2019·天津和平区·模拟）如图，在菱形
中，，，点
是这个菱形内部或边上的一点，若以点
，，
为顶点的三角形是等腰三角形，则
，（，
两点不重合）两点间的最短距离为多少？
A．
B．
C．
D．
（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·真题）
年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到
亿元，用科学记数法表示
是
A．
B．
C．
D．
（2018·苏州市高新区·模拟）如图，已知
，
是反比例函数
图象上的两点，，交
轴于点
，动点
从坐标原点
出发，沿
匀速运动，终点为
，过点
作
，，垂足分别为
，．设四边形
的面积为
，点
运动的时间为
，则
关于
的函数图象大致为
A．
B．
C．
D．
（2018·甘肃兰州市·期末）已知
是关于
的方程
的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形
的两条边长，则
的周长为
A．
B．
C．
D．
或
（2018·沈阳市沈北新区）
，则下面结论中正确的是
A．
没有最小值
B．只有一个
使
有最小值
C．有限个
使
取得最小值
D．有无数多个
使
取得最小值
（2019·杭州市上城区·模拟）若关于
的不等式
的解都能使不等式
成立，则
的取值范围是
A．
或
B．
C．
D．
（2019·杭州市萧山区）如图，
为
直径
上一动点，过点
的直线交
于
，
两点，且
，
于点
，
于点
，当点
在
上运动时．设
，，下列中图象中，能表示
与
的函数关系式的图象大致是
A．
B．
C．
D．
（2018·石家庄市高邑县·期末）如图，在
中，已知
，，，动点
从点
出发，以
的速度沿线段
向点
运动，在运动过程中，当
为等腰三角形时，点
出发的时刻
可能的值为
A．
B．
或
C．
D．
或
（2020·天津红桥区·模拟）点
，
在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是
，，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
（2018·合肥市长丰县·期末）如图，正方形
的边长为
，动点
，
同时从点
出发，在正方形的边上，分别按
，
的方向，都以
的速度运动，到达点
运动终止，连接
，设运动时间为
，
的面积为
，则下列图象中能大致表示
与
的函数关系的是
A．
B．
C．
D．
（2020·杭州市拱墅区·模拟）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为
米，数据
用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
（2018·深圳市宝安区·期末）已知有理数
，
在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确的是
A．
B．
C．
D．
（2019·杭州市萧山区·期末）已知直线
与半径为
的
相切于点
，
是
的一条弦，且
，若
，则直线
与弦
之间的距离为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
（2019·浙江温州市·模拟）如图，已知等腰直角三角形
中，，，在
的延长线上任取一点
，过点
作
，使得
，则当点
在
延长线上向左移动时，
的面积大小变化情况是
A．一直变大
B．一直变小
C．先变小再变大
D．先变大再变小
（2018·苏州市常熟市）直角三角形的两边长为
和
，则此三角形的外接圆半径为
A．
B．
C．
或
D．
或
（2019·洛阳市汝阳县）已知四个数：，，，，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是
A．
B．
C．
D．
（2021·专项）如图①，点
是
的中点，点
在
上，动点
以每秒
的速度沿图①（）的边线运动，运动路径为：，相应的
的面积
关于运动时间
的函数图象如图②，若
，有下列结论：
①图①中的
长是
；
②图②中的
点表示第
秒时，
的值为
；
③图②中的
点表示第
秒时，
的值为
．
其中，正确结论的个数是
A．
B．
C．
D．
（2019·天津红桥区）已知
，，且
，则
的值为
A．
B．
C．
或
D．
或
二、填空题
（2019·南通市崇川区·期末）已知射线
，从
点再引射线
，，使
，，则
的度数为
．
（2019·济南市槐荫区·期末）已知
，，
位置如图，则化简
．
（2019·株洲市醴陵市·期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值
称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰
中，，则它的特征值
．
（2020·苏州市太仓市·调研）如图，
中，，，，点
是
边上一点，，点
是线段
上的动点，连接
，以
为斜边在
的下方作等腰
，连接
，当
从点
出发运动至点
停止的过程中，
面积的最大值等于
．
（2020·单元测试）计算：
（）
；
（）
；
（）
；
（）
．
（2018·成都市锦江区）设一组数据：，，，，，我们将前
个数之和记作
，即
，，，，，定义
为这组数据的“嘉祥数”，若
，，，，
这十个数据的“嘉祥数”为
，则
，，，，，
这
个数据的“嘉祥数”为
．
（2020·单元测试）如图，圆的周长为
个单位长度．在该圆的
等分点处分别标上数字
，，，，先让圆周上表示数字
的点与数轴上表示数
的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数
的点与圆周上表示数字
的点重合．
（2020·单元测试）先运用乘法运算律将下列算式变形，再计算出结果．
（）
；
（）
；
（）
；
（）
．
（2019·洛阳市汝阳县）某景点
月
日的最低气温为
，最高气温为
，那么该景点这天的是温差是
．
三、解答题
（2018·保定市定州市）计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
（2019·济南市天桥区）按要求作答．
(1)
【问题发现】
如图
，在
中，，，点
为
的中点，以
为一边作正方形
，点
恰好与点
重合，则线段
与
的数量关系为
．
(2)
【拓展研究】
在（）的条件下，如果正方形
绕点
旋转，连接
，，，线段
与
的数量关系有无变化？请仅就图
的情形给出证明．
(3)
【问题发现】
当正方形
旋转到
，，
三点共线的时候，直接写出线段
的长．
（2020·江苏徐州市）如图，已知点
，，．
(1)
将
绕点
逆时针旋转
得
，画出
，并写出点
的对应点
的坐标为
；
(2)
画出
关于原点成中心对称的图形
，并写出点
的对应点
的坐标为
；
．
(3)
在平面直角坐标系内找点
，使得
，，，
为顶点的四边形为平行四边形，则点
的坐标为
．
（2019·烟台市招远市）明明同学计算
时，他是这样做的：
(1)
明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果：
(2)
仿照明明的解法，请你计算：．
（2019·广州市越秀区·期末）计算：
(1)
．
(2)
．
第二章有理数及其运算
一、选择题
（2019·无锡市锡山区·期末）如图，在
中，，，，点
是
上的一点，点
是
上的一点，，当
与
中的一个角相等时，则
的值为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】
，
，设
，，
①当
时，可得
，
，
，
，
；
②当
时，
如图中，过点
作
，可得
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述，．
【知识点】两角分别相等
（2019·天津和平区·模拟）如图，在菱形
中，，，点
是这个菱形内部或边上的一点，若以点
，，
为顶点的三角形是等腰三角形，则
，（，
两点不重合）两点间的最短距离为多少？
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在菱形
中，
，，
，
都是等边三角形．
①若以边
为底，则
垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点
与点
重合时，
值最小，最小值为
；
②若以边
为底，
为顶角时，以点
为圆心，
长为半径作圆，与
相交于一点，则弧
（除点
外）上的所有点都满足
是等腰三角形，当点
在
上时，
最小，最小值为
；
③若以边
为底，
为顶角，以点
为圆心，
为半径作圆，则弧
上的点
与点
均满足
为等腰三角形，当点
与点
重合时，
最小，显然不满足题意，故此种情况不存在．
综上所述，
的最小值为
．
【知识点】菱形的性质
（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·真题）
年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到
亿元，用科学记数法表示
是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
．
【知识点】正指数科学记数法
（2018·苏州市高新区·模拟）如图，已知
，
是反比例函数
图象上的两点，，交
轴于点
，动点
从坐标原点
出发，沿
匀速运动，终点为
，过点
作
，，垂足分别为
，．设四边形
的面积为
，点
运动的时间为
，则
关于
的函数图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①点
在
上运动时，此时四边形
的面积
，保持不变，故排除B、D；
②点
在
上运动时，设路线
的总路程为
，点
的速度为
，则
，
因为
，，
均是常数，
所以
与
成一次函数关系．故排除C．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
（2018·甘肃兰州市·期末）已知
是关于
的方程
的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形
的两条边长，则
的周长为
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】把
代入方程
得
，解得
，
方程化为
，解得
，，
，不能构造三角形，
三角形三边为
，，，
的周长为
．
【知识点】一元二次方程的根
（2018·沈阳市沈北新区）
，则下面结论中正确的是
A．
没有最小值
B．只有一个
使
有最小值
C．有限个
使
取得最小值
D．有无数多个
使
取得最小值
【答案】D
【解析】
表示数轴上一点
到
，
的距离和，这个距离和的最小值为
，此时
的范围为
，故选：D．
【知识点】绝对值的几何意义
（2019·杭州市上城区·模拟）若关于
的不等式
的解都能使不等式
成立，则
的取值范围是
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
关于
的不等式
的解都能使不等式
成立，
，即
，
解不等式
，得：，
则有：，
解得：，
则
的取值范围是
．
故选：C．
【知识点】含参一元一次方程的解法、不等式的性质
（2019·杭州市萧山区）如图，
为
直径
上一动点，过点
的直线交
于
，
两点，且
，
于点
，
于点
，当点
在
上运动时．设
，，下列中图象中，能表示
与
的函数关系式的图象大致是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】点
从点
运动到点
的过程中，
的值逐渐增大，
的长度随
值的变化先变大再变小，当
与
重合时，
有最大值，
，，
时，
过点
，
此时：，，，
所以，随着
的增大，
先增后降，类抛物线．
【知识点】图像法
（2018·石家庄市高邑县·期末）如图，在
中，已知
，，，动点
从点
出发，以
的速度沿线段
向点
运动，在运动过程中，当
为等腰三角形时，点
出发的时刻
可能的值为
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的概念
（2020·天津红桥区·模拟）点
，
在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是
，，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由数轴的定义得：，．
，，则选项A，B均错误；
，
．
，则选项C错误；
，，
，，即
，则选项D正确．
【知识点】绝对值的几何意义
（2018·合肥市长丰县·期末）如图，正方形
的边长为
，动点
，
同时从点
出发，在正方形的边上，分别按
，
的方向，都以
的速度运动，到达点
运动终止，连接
，设运动时间为
，
的面积为
，则下列图象中能大致表示
与
的函数关系的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①当
时，
正方形的边长为
，
；
②当
时，
与
之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
【知识点】y=ax^2+bx+c的图象
（2020·杭州市拱墅区·模拟）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为
米，数据
用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将
用科学记数法表示为：．
【知识点】正指数科学记数法
（2018·深圳市宝安区·期末）已知有理数
，
在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在数轴上的位置可知，，，
A、
，，
，故A选项正确；
B、
，
，故B选项正确；
C、
，
，故C选项错误；
D、
，，
，故D选项正确．
故选C．
【知识点】有理数的乘法
（2019·杭州市萧山区·期末）已知直线
与半径为
的
相切于点
，
是
的一条弦，且
，若
，则直线
与弦
之间的距离为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【解析】连接
，
交
与
．
，
，，
直线
是切线，
，
，
在
中，，
，
同法当弦
在点
下方时，．
【知识点】切线的性质
（2019·浙江温州市·模拟）如图，已知等腰直角三角形
中，，，在
的延长线上任取一点
，过点
作
，使得
，则当点
在
延长线上向左移动时，
的面积大小变化情况是
A．一直变大
B．一直变小
C．先变小再变大
D．先变大再变小
【答案】C
【解析】当
与
的交点在线段
上时，如图
所示．
设
，则
，，则
的面积随
的增大而减小；
当
与
的交点在线段
的延长线上时，如图
所示．
设
，则
，，
，
，即
，
，
，
的面积是：，
的面积随
的增大而增大，
由上可得，
的面积随
的增大先变小后变大．
【知识点】基本定理、k,b对一次函数图象及性质的影响
（2018·苏州市常熟市）直角三角形的两边长为
和
，则此三角形的外接圆半径为
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】由勾股定理可知：
①当
为斜边时，直角三角形的斜边长为：；
②当
为直角边时，直角三角形的斜边长为：；
因此这个三角形的外接圆半径为
或
．
【知识点】三角形的外接圆与外心
（2019·洛阳市汝阳县）已知四个数：，，，，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意得两个数相乘所得积的最大值是
．
故选B．
【知识点】有理数的乘法
（2021·专项）如图①，点
是
的中点，点
在
上，动点
以每秒
的速度沿图①（）的边线运动，运动路径为：，相应的
的面积
关于运动时间
的函数图象如图②，若
，有下列结论：
①图①中的
长是
；
②图②中的
点表示第
秒时，
的值为
；
③图②中的
点表示第
秒时，
的值为
．
其中，正确结论的个数是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】行程问题
（2019·天津红桥区）已知
，，且
，则
的值为
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
又
，由于
，，而
，，
则
只能取
，
取
或
，
或
．
则
的值为
或
．
【知识点】绝对值的性质
二、填空题
（2019·南通市崇川区·期末）已知射线
，从
点再引射线
，，使
，，则
的度数为
．
【答案】
或
【解析】如图所示．
①
在
，
之间，
，，
②
在
，
之间，
，，
【知识点】角的计算
（2019·济南市槐荫区·期末）已知
，，
位置如图，则化简
．
【答案】
【解析】
由图可知
，，，
，，，
．
【知识点】绝对值的化简、绝对值的几何意义
（2019·株洲市醴陵市·期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值
称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰
中，，则它的特征值
．
【答案】
或
【解析】①当
为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，
特征值
．
②当
为底角时，顶角的度数为：，
特征值
．
综上所述，特征值
为
或
．
【知识点】等边对等角
（2020·苏州市太仓市·调研）如图，
中，，，，点
是
边上一点，，点
是线段
上的动点，连接
，以
为斜边在
的下方作等腰
，连接
，当
从点
出发运动至点
停止的过程中，
面积的最大值等于
．
【答案】
【解析】设
，
①如图
，当
时，作
于
，
于
，
，
四边形
中，，，
，
，
，
在
和
，
，，，
，
，
，
四边形
是正方形，
设
，则
，得
，即有
，
，，
，
当
时，．
②如图
，
当
时，同理可得
，
当
时，．
综上，当
时，．
【知识点】正方形的概念、二次函数的最值
（2020·单元测试）计算：
（）
；
（）
；
（）
；
（）
．
【答案】
；
；
；
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算
（2018·成都市锦江区）设一组数据：，，，，，我们将前
个数之和记作
，即
，，，，，定义
为这组数据的“嘉祥数”，若
，，，，
这十个数据的“嘉祥数”为
，则
，，，，，
这
个数据的“嘉祥数”为
．
【答案】
【解析】
，
则
嘉祥数为
．
【知识点】有理数的加法法则及计算
（2020·单元测试）如图，圆的周长为
个单位长度．在该圆的
等分点处分别标上数字
，，，，先让圆周上表示数字
的点与数轴上表示数
的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数
的点与圆周上表示数字
的点重合．
【答案】
【知识点】数轴的概念
（2020·单元测试）先运用乘法运算律将下列算式变形，再计算出结果．
（）
；
（）
；
（）
；
（）
．
【答案】
；
；
；
；
；
；
；
【知识点】有理数的乘法
（2019·洛阳市汝阳县）某景点
月
日的最低气温为
，最高气温为
，那么该景点这天的是温差是
．
【答案】
【解析】
．
【知识点】有理数减法的应用
三、解答题
（2018·保定市定州市）计算：
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减乘除混合运算
(1)
；
【答案】
(2)
；
【答案】
(3)
．
【答案】
（2019·济南市天桥区）按要求作答．
【知识点】两角分别相等、正方形的性质
(1)
【问题发现】
如图
，在
中，，，点
为
的中点，以
为一边作正方形
，点
恰好与点
重合，则线段
与
的数量关系为
．
【答案】
【解析】在
中，，
根据勾股定理得，，
点
为
的中点，
，
四边形
是正方形，
，
，
．
(2)
【拓展研究】
在（）的条件下，如果正方形
绕点
旋转，连接
，，，线段
与
的数量关系有无变化？请仅就图
的情形给出证明．
【答案】无变化；
如图
，在
中，，
，
，
在正方形
中，，
在
中，，
，
，
，
，
，
，
，
线段
与
的数量关系无变化．
(3)
【问题发现】
当正方形
旋转到
，，
三点共线的时候，直接写出线段
的长．
【答案】
或
【解析】当点
在线段
上时，如图
，
由（）知，，
在
中，，，
根据勾股定理得，，
，
由（）知，，
，
当点
在线段
的延长线上时，如图
，
在
中，，
，
，
在正方形
中，，
在
中，，
，
，
，
，
，
，
，
由（）知，，
在
中，，，
根据勾股定理得，，
，
由（）知，，
．
即：当正方形
旋转到
，，
三点共线时候，线段
的长为
或
．
（2020·江苏徐州市）如图，已知点
，，．
【知识点】坐标平面内图形的旋转变换、平行四边形及其性质
(1)
将
绕点
逆时针旋转
得
，画出
，并写出点
的对应点
的坐标为
；
【答案】如图，
即为所求．
【解析】点
的坐标为
．
故答案为
．
(2)
画出
关于原点成中心对称的图形
，并写出点
的对应点
的坐标为
；
【答案】
即为所求．
【解析】点
的坐标为
．
故答案为
．
(3)
在平面直角坐标系内找点
，使得
，，，
为顶点的四边形为平行四边形，则点
的坐标为
．
【答案】
或
或
【解析】如图，满足条件的点
的坐标为
或
或
．
故答案为
或
或
．
（2019·烟台市招远市）明明同学计算
时，他是这样做的：
【知识点】有理数加减混合运算
(1)
明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果：
【答案】明明的解法从第三步开始出现错误，
改正：
(2)
仿照明明的解法，请你计算：．
【答案】
（2019·广州市越秀区·期末）计算：
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减混合运算
(1)
．
【答案】
(2)
．
【答案】