江西省吉安县立中学2020-2021学年高二第一学期12月月考数学（理A）试卷word版含答案

吉安县立中学2020-2021学年度第一学期12月月考试卷
高二年级数学试卷（理A）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。只有一个选项是符合题目要求的）
1．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面且，则下列命题正确的（ ）
A．若m，n为异面直线且，，则l与m，n都相交
B．若m，n为共面直线且，，则l与m，n都相交
C．若，且，则l与m，n都垂直
D．若，，则l与m，n都垂直
3．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的否命题为“若，则”
B．命题“”的否定是“”
C．命题“若，则”的逆否命题为假命题
D．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
4．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．已知命题：，；命题：，直线：与圆：有公共点，若为真，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若两个正数，之积大于1，则，这两个正数中（ ）
A．都大于1 B．都小于1
C．至少有一个大于1 D．一个大于1，一个小于1
7．已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程和（其中，，），则它们所表示的曲线可能是（ ）
A． B． C．D．
9．已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．设双曲线的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，
垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
12．已知是椭圆与抛物线的一个交点，定义.设定点，若直线与曲线恰有两个交点与，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，，若，使成立，则实数的取值范围是________.
14．将个数排成行列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，则________
15．已知圆C：x2＋y2＝25，过点M(－2，3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点Q时，点Q的轨迹方程为________．
16．如图正方体中，为中点，为中点，为线段上一动点(不含)，过与正方体的截面为，则下列说法正确的是___________.
①当时，为五边形
②截面为四边形时，为等腰梯形
③截面过时，
④为六边形时在底面投影面积为五边形时在底面投影面积，则
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）数列满足.
（1）计算并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
18．（12分）已知命题：实数满足，命题：方程表示圆．
（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19（12分）．如图，已知四棱锥中，平面，，，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）如图，抛物线的焦点为F，直线与C相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过F的直线交C于M，N两点（M在x轴上方），若，求直线的方程．
21．（12分）如图，已知在三棱锥中，，，，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为.
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
22．（12分）已知椭圆的长轴长为6，上一点关于原点的对称点为，若，设，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，求面积的取值范围.
吉安县立中学2020-2021学年度第一学期高二年级数学月考试卷（理A）参考答案
1．D2．D3．D4．A5．C6．C7．A8．B9．A10．D11．C12．C
13． 14． 15．2x－3y＋25＝0 16．②③
17． （1）当时，，.
当时，，.
当时，，.
当时，，.
由此猜想.
（2）证明 ①当时，左边，右边，左边＝右边，结论成立.
②假设（且）时，结论成立，即，
那么时，
，，
，这表明时，结论成立，
由①②知猜想成立.
18． （Ⅰ）因为命题为真命题，所以，得.
（Ⅱ）由得，即，
因为是的充分不必要条件所以，
所以， 解得.
．
19．（Ⅰ）取中点，连.易知，且，，且,所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.又因为，，所以 （Ⅱ）(一)连.由，，所以，.
在直角梯形上，.
.又，所以

又.，所以为直线与平面所成角
…
(二)设是中点，连因为，则，作，所以为，也即直线与平面所成角
20．（1）联立，
可得，
因为直线与相切
所以，抛物线方程为，
（2）由（1）可知，
设，
联立可得，
设，结合，
可得，
，即.
21． （1）证明：如图，连接，
∵，点为的中点，∴，
又，∴，而，
∴≌，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，则，
∴、、、、、，
设平面的法向量，∵，，
又，∴，
设，则，，∴
设平面法向量，∵，，
又，∴，
设，则，，∴，
∵，∴为锐角，，
∴，
化简得，∴或(舍去)，
∴存在使.
22． （1）∵，∴.
又.
，.∴椭圆的标准方程为.
（2）设点，.
则直线的方程为.
直线的方程为.
∵在直线，上，
∴，.
∴直线的方程为.
由，消，结合，利用：，同时消，
得：，，
，
又点到直线的距离.
，
，
∴记，
.