2.2 等差数列 (2) 课件

(共28张PPT)
第二课时
知识与技能
（1）掌握“判断数列是否为等差数列”常用的方法；
（2）探索并掌握等差数列的另外两个通项公式；
（3）进一步熟练掌握等差数列的性质及应用。
过程与方法
通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
知识回顾
等差数列
AAAAAAAAAAAAA 每一项与
它前一项的差
如果一个数列从第2项起，
等于同一个常数.
.
. . . . .
【说明】
AAA①数列{ an }为等差数列
an+1-an=d
或an+1=an+d
d
=an+1-an
②公差是 唯一 的常数。
an=a1+(n-1)d
等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
例1 已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就 是看 是不是一个与n无关的常数
解：取数列
中的任意相邻两项
求差得
它是一个与n无关的数，所以 是等差数列
想一想还可以怎么证？
自主探究一 等差数列的判定方法
结论：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的
一次函数， 那么这个数列一定是等差数列
等差数列的通项公式为：
直线的一般形式：
(一次项系数）
(系数之和）
自主探究二 等差数列的图像
做课本P39页探究，你能得到什么结论？
等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立点
①当p不为零时，等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
②当p为零时，等差数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀分布的一群孤立的点。
自主探究二 等差数列的图像
做课本P39页探究，你能得到什么结论？
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
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10
0
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等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
1
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5
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0
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等差数列的图象3
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
1
2
3
4
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3
4
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10
0
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小结：判定等差数列常用的方法有:
（1）定义法:利用 ，
（2）等差中项法：数列为非常数列时，也可利用
（3）
( ， 为常数， )
是等差数列
在等差数列
的各项中，与
首末两项等距
离的两项和等
于首末两项的
和
特例：若
则
自主探究三 等差数列的性质
解：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
（2） 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
在等差数列{an}中：
（1）已知 ，求
解：∵
∴
练习：
(3）已知 a1+a4+a7 =15， a2a4a6=45, 求数列的通
项公式
解: ∵
∴
∴
∴
解得 或
若 ，则 ，∴
同理可得
小结： 等差数列的性质
1. an= ，d=
am+(n - m) d
2.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
4.等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成的数列
仍成等差数列. 例如: a1、 a3 、 a5 、 a7 、 …仍成
等差数列, a7 、 a14 、 a21 、…. 、 a7m 、…仍成等
差数列
5.数列 ( ， 为常数)仍成等差数列
6. 和 均为等差数列，则 也成等差数列
如果数列{an}是等差数列，则an=kn+b,其中k,b均
为常数。反之，如果数列{an}是an=kn+b,则数列{an}
是等差数列
题型一 等差数列的定义及应用
[例1] 已知数列 的通项公式为
，试问该数列是否为等差数列
分析：利用等差数列的定义即可
解：∵数列 的通项公式为
∴
∴该数列为等差数列
题型二 等差数列的通项
[例2] 两个等差数列5，8，11，…和
3，7，11，…都有100项，问它们
有多少个共同的项？
解法一: 设两个数列分别为
则
设数列 的第 项与 的第 项相同
即
即
∵
∴ 必须为3的倍数，设
由条件知
又∵ ，∴
∴共有25个共同的项
解法二：由解法一知两数列的通项公式分别
为 ，
设共同项构成新数列 ，则
由于数列 ， 为等差数列，
∴数列 仍成等差数列，且公差为
∴
又∵ ，
∴
∴ ，知数列有25个共同项
[例3] 等差数列 中， ，
，求
题型三 等差数列的性质应用
解：∵
∴
∵
∴
∴
[变式练习] 若 ，数列 和
各自成等差数列，求
解： 由
得
[例4] 已知成等差数列的四个数之和为 26，第二个数和第三个数之积为40，求这个等差数列．
题型四 创新、拓展、实践
解：设四个数为
∴四个数为2，5，8，11或11，8，5，2．
则
解得：
或
［例６］等差数列　　的公差为　　　，
　　试比较　　　与　　　的大小
解：设
∴
(1)通项法：设数列的通项公式，即设
等差数列通项的设法
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设
中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为：
…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…
当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为，
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对称项设出这个数列，则其各项和为na．
梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间
还有10级，各级的宽度成等差数列.
计算中间各级的宽.
解：设　　表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由知己条件，可知
得
所以
即
因此