第二章集基本初等函数学案
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文档简介
2.1.1 指数函数
使用说明：
“自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”8分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
了解指数函数模型背景及实用性必要性。2、了解根式的概念及表示方法。
3、理解根式的概念．理解分数指数幂的概念。4掌握有理指数幂的运算性质，根式与分数指数幂的互化。
重点与难点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质；
根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂。
学习过程：
（一）自主探究
动手、思考：一张纸你能折几次，每折一次有多少层呢？
1、回顾初中根式的概念：
2、复习初中整数指数幂的运算性质；
3、根式的概念及运算：
（1）定义次方根：
（2）讨论：当为奇数时, 次方根情况如何？
当为偶数时，正数的次方根情况？
强调：负数 偶次方根,0的任何次方根都是 , 即
（3） 练习：,则的4次方根为 ； , 则的3次方根为
（4）定义根式：
（5） 计算 ； ；
（6）分数指数幂的意义
规定：0正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（7）有理数指数幂的运算性质
（8）求值：； ； （）
（9）用分数指数幂表示下列格式：
（） （）
（二）合作探讨
1、、的意义及结果？ （特殊到一般）
2、从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
3、如何理解无理指数幂
（三）巩固练习
1. 计算：； ； ； ；
（）
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
思考： ；
2.1.2指数函数及其性质
使用说明：
“自主学习”13分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结，并找出理解不到位的问题。
“最后5分钟”教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1、能熟练运用指数函数的性质解题2、在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等3、认识数学与现实生活及其他学科的联系
重点与难点: 指数函数的性质。指数函数的性质应用，底数不同的两幂值比较大小。
学习过程
（一）自主探究
1、阅读课本48页，思考以下问题
（1）在本节的问题2中时间和碳14含量的对应关系：和问题1中时间x与GDP值y的对应关系能否构成函数？
（2）这两个函数有什么共同特征？
（3）能否根据上述两个函数关系式给出指数函数的定义.
讨论：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？
2. 指数函数的图象和性质：
（1）在同一坐标系中画函数的图象：
（2）函数与的图象有什么关系？可否由的图象画出的图象？
（3）从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
（二）合作探讨
1、根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质。
图象特征 函数性质
向x轴正负方向无限延伸 定义域：
值域：
奇偶性：
函数图象都过定点
自左向右看，图象逐渐上升 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
图象下降趋势是越来越缓慢。 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
2、利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[m，n]上，值域是 或 ；
（2）若 ，则；取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数，总有 ；
（4）当时，若 ，则；当时，若 ，则
3、人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
到2050年我国的人口将达到多少？
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
（三）巩固练习（学习57页例7）
1、比较大小（规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．）
（1） （2） （3） (4)0.8-0.3和4.9-0.1 (5)0.90.3和0.70.4
（2）设0< <1,解关于x的不等式>。
个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
思考：讨论函数 （）的值域。
2.2.1对数(一)
使用说明：
“自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”6分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化．
重点与难点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化；对数概念的理解．
学习过程：
（一）自主探究
1．对数产生于17世纪．那时，为了确定船舶在大海中的航程和位置，为了观察行星运动所得数据，都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算，对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度．直到计算机与计算器普及之前，对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用．指数概念扩充到任意实数指数是17世纪到18世纪逐步形成的．18世纪后人们将它们联系起来研究．我们在学习中，要注意指数与对数、指数函数与对数函数的联系，这有利于我们理解和掌握有关概念．
参考课本写出与３2＝９,()0.5=0.71对应的对数式子,并标明各部分的名字
⑴、对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 。
指数式 对数式 思考： 为什么对数的定义中要求底数，且；
←→对数底数
指数 ←→ 是否是所有的实数都有对数呢？
←→ 真数
⑵、注意对数的书写格式．
⑶、两种特殊的对数：
（1）常用对数：以10为底的对数（）叫做 ， 记作 .
（2）自然对数：以 为底的对数（）叫做 ， 记作 .
3、常用的对数关系式：
（1）负数和零没有对数；
(2) ∴.；（2） ∴．
(3) 对数恒等式：
（二）合作探讨
（1）、给出四个等式：①；②；③若，则；④若，则。其中正确的是（ ）
（2）、 ； 若，则 .
（三）巩固练习
（1）、将下列指数式写成对数式
（2）、将下列对数式写成指数式
（3）、求下列各式的值
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
(五) 能力拓展：1、设，，求的值。
2、设A={0，1，2}，B={，，}，且A=B，求的值。
2.2.1对数(二)
使用说明：
“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”11分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化．
重点与难点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化；对数概念的理解．
学习过程：
（一）自主探究
1、根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：
设，，求；
设，，试利用、表示·．
2、由指数运算性质填空
指数运算性质 对数运算性质
am·an＝am＋n（am）n＝amn（ab）n＝an·bna>0，b>0，m，n∈R
3、注意表示形式：
4、练习：用，，表示下列各式
用，，表示下列格式
5、注意:在混合运算过程中，注意应用乘法公式、因式分解公式、配方法等，以提高解题速度与解题质量．在运算过程中注意应用：①loga1＝0，②logaa＝1，③＝N等基本性质，及lg2＋lg5＝lg10＝1等技巧．
6、计算：（1） （2）2
（二）合作探讨
1、判断正误：（其中）
（1） （ ） （2）（ ）
（3） （ ） （4） （ ） （5） （ ）
证明：换底公式 （，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论（1）； （2）．
（三）巩固练习
1、 已知
2、 试求：的值。（对换5与2，再试一试）
3、 设,，试用、表示
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
能力拓展：
2.2.2对数函数及其性质
使用说明：
“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”9分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”11分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养自身数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
重点与难点：掌握对数函数的图象和性质；对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
学习过程：
（一）自主探究
阅读课本70页利用计算器填写下表：
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数t
观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数”
1．定义：函数 叫做对数函数
其中是自变量，函数的定义域是
注意：1、 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 是否是对数函数？ 2、对数函数对底数的限制：
2、你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
3、在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
（二）合作探讨
1、研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征 函数性质
函数图象都 函数的定义域为
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向 函数的值域为
函数图象都过定点
自左向右看，图象逐渐下降 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
2、 思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：
3、已知恒为正数，求的取值范围．
（三）巩固练习
1、求函数定义域
2、比较数值大小与，与，与，与
3、函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
（2）求函数的最小值．
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
能力拓展：已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性
2.2.2对数函数及其性质
使用说明：
“自主学习”8分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”12分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”10分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
重点与难点：两种函数的内在联系，反函数的概念．
学习过程：
（一）自主探究
由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：
表一 ．在同一坐标系中，用描点法画出图象．
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
表二 ．
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
（二）合作探讨
材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
材料二：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？
（从定义域，值域，单调性）
我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？
问题2 取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？
问题3 如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？
问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5 上述结论对于指数函数，且及其反函数，且也成立吗？为什么？
（三）巩固练习
1、求下列函数的反函数：
（1）； （2）
2、已知函数的图像经过点（1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），求f(x).
3、求函数 (x∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
2.3幂函数
使用说明：
“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”11分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1.了解幂函数的图像和性质，并能进行简单的应用。2.能够类比研究一般函数，指数函数，对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图像和性质。3.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
重点与难点：幂函数的图像和性质；幂函数的性质
学习过程：
（一）自主探究
【问题1】如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
【问题2】如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。
【问题3】如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。
【问题4】如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S的函数
【问题5】如果某人t s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？
幂函数的概念
如果设变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？
幂函数的定义：
（二）合作探讨
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？
试一试：判断下列函数那些是幂函数？
（1） （2） （3） （4）
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？
几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在上边的坐标系内画出函数的图象吗？
【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。
定义域
值域
奇偶性
单调性
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质。
归纳：当时，
请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。
归纳：当时，
。
例题剖析
【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
（1） （2） （3）
【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）
(1) ________ (2)________
(3)__________ (4)____________
（三）巩固练习
1、下列函数中，是幂函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列结论正确的是（ ）
A、幂函数的图象一定过原点
B、当时，幂函数是减函数
C、当时，幂函数是增函数
D、函数既是二次函数，也是幂函数
3、下列函数中，在是增函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、函数的图象大致是（ ）
5、已知某幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为_______________________
6、写出下列函数的定义域，并指出它们的单调性：
（1） （2） （3）
（四）个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
（五）能力拓展：
由３2＝９可得到
(1)9是3的平方
（2）3是9的平方根
使用说明：
“自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”8分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
了解指数函数模型背景及实用性必要性。2、了解根式的概念及表示方法。
3、理解根式的概念．理解分数指数幂的概念。4掌握有理指数幂的运算性质，根式与分数指数幂的互化。
重点与难点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质；
根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂。
学习过程：
（一）自主探究
动手、思考：一张纸你能折几次，每折一次有多少层呢？
1、回顾初中根式的概念：
2、复习初中整数指数幂的运算性质；
3、根式的概念及运算：
（1）定义次方根：
（2）讨论：当为奇数时, 次方根情况如何？
当为偶数时，正数的次方根情况？
强调：负数 偶次方根,0的任何次方根都是 , 即
（3） 练习：,则的4次方根为 ； , 则的3次方根为
（4）定义根式：
（5） 计算 ； ；
（6）分数指数幂的意义
规定：0正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（7）有理数指数幂的运算性质
（8）求值：； ； （）
（9）用分数指数幂表示下列格式：
（） （）
（二）合作探讨
1、、的意义及结果？ （特殊到一般）
2、从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
3、如何理解无理指数幂
（三）巩固练习
1. 计算：； ； ； ；
（）
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
思考： ；
2.1.2指数函数及其性质
使用说明：
“自主学习”13分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结，并找出理解不到位的问题。
“最后5分钟”教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1、能熟练运用指数函数的性质解题2、在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等3、认识数学与现实生活及其他学科的联系
重点与难点: 指数函数的性质。指数函数的性质应用，底数不同的两幂值比较大小。
学习过程
（一）自主探究
1、阅读课本48页，思考以下问题
（1）在本节的问题2中时间和碳14含量的对应关系：和问题1中时间x与GDP值y的对应关系能否构成函数？
（2）这两个函数有什么共同特征？
（3）能否根据上述两个函数关系式给出指数函数的定义.
讨论：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？
2. 指数函数的图象和性质：
（1）在同一坐标系中画函数的图象：
（2）函数与的图象有什么关系？可否由的图象画出的图象？
（3）从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
（二）合作探讨
1、根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质。
图象特征 函数性质
向x轴正负方向无限延伸 定义域：
值域：
奇偶性：
函数图象都过定点
自左向右看，图象逐渐上升 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
图象下降趋势是越来越缓慢。 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
2、利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[m，n]上，值域是 或 ；
（2）若 ，则；取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数，总有 ；
（4）当时，若 ，则；当时，若 ，则
3、人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
到2050年我国的人口将达到多少？
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
（三）巩固练习（学习57页例7）
1、比较大小（规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．）
（1） （2） （3） (4)0.8-0.3和4.9-0.1 (5)0.90.3和0.70.4
（2）设0< <1,解关于x的不等式>。
个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
思考：讨论函数 （）的值域。
2.2.1对数(一)
使用说明：
“自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”6分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化．
重点与难点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化；对数概念的理解．
学习过程：
（一）自主探究
1．对数产生于17世纪．那时，为了确定船舶在大海中的航程和位置，为了观察行星运动所得数据，都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算，对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度．直到计算机与计算器普及之前，对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用．指数概念扩充到任意实数指数是17世纪到18世纪逐步形成的．18世纪后人们将它们联系起来研究．我们在学习中，要注意指数与对数、指数函数与对数函数的联系，这有利于我们理解和掌握有关概念．
参考课本写出与３2＝９,()0.5=0.71对应的对数式子,并标明各部分的名字
⑴、对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 。
指数式 对数式 思考： 为什么对数的定义中要求底数，且；
←→对数底数
指数 ←→ 是否是所有的实数都有对数呢？
←→ 真数
⑵、注意对数的书写格式．
⑶、两种特殊的对数：
（1）常用对数：以10为底的对数（）叫做 ， 记作 .
（2）自然对数：以 为底的对数（）叫做 ， 记作 .
3、常用的对数关系式：
（1）负数和零没有对数；
(2) ∴.；（2） ∴．
(3) 对数恒等式：
（二）合作探讨
（1）、给出四个等式：①；②；③若，则；④若，则。其中正确的是（ ）
（2）、 ； 若，则 .
（三）巩固练习
（1）、将下列指数式写成对数式
（2）、将下列对数式写成指数式
（3）、求下列各式的值
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
(五) 能力拓展：1、设，，求的值。
2、设A={0，1，2}，B={，，}，且A=B，求的值。
2.2.1对数(二)
使用说明：
“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”11分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化．
重点与难点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化；对数概念的理解．
学习过程：
（一）自主探究
1、根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：
设，，求；
设，，试利用、表示·．
2、由指数运算性质填空
指数运算性质 对数运算性质
am·an＝am＋n（am）n＝amn（ab）n＝an·bna>0，b>0，m，n∈R
3、注意表示形式：
4、练习：用，，表示下列各式
用，，表示下列格式
5、注意:在混合运算过程中，注意应用乘法公式、因式分解公式、配方法等，以提高解题速度与解题质量．在运算过程中注意应用：①loga1＝0，②logaa＝1，③＝N等基本性质，及lg2＋lg5＝lg10＝1等技巧．
6、计算：（1） （2）2
（二）合作探讨
1、判断正误：（其中）
（1） （ ） （2）（ ）
（3） （ ） （4） （ ） （5） （ ）
证明：换底公式 （，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论（1）； （2）．
（三）巩固练习
1、 已知
2、 试求：的值。（对换5与2，再试一试）
3、 设,，试用、表示
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
能力拓展：
2.2.2对数函数及其性质
使用说明：
“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”9分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”11分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养自身数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
重点与难点：掌握对数函数的图象和性质；对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
学习过程：
（一）自主探究
阅读课本70页利用计算器填写下表：
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001
生物死亡年数t
观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数”
1．定义：函数 叫做对数函数
其中是自变量，函数的定义域是
注意：1、 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 是否是对数函数？ 2、对数函数对底数的限制：
2、你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
3、在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
（二）合作探讨
1、研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征 函数性质
函数图象都 函数的定义域为
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向 函数的值域为
函数图象都过定点
自左向右看，图象逐渐下降 减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
2、 思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：
3、已知恒为正数，求的取值范围．
（三）巩固练习
1、求函数定义域
2、比较数值大小与，与，与，与
3、函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
（2）求函数的最小值．
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
能力拓展：已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性
2.2.2对数函数及其性质
使用说明：
“自主学习”8分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”12分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”10分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
重点与难点：两种函数的内在联系，反函数的概念．
学习过程：
（一）自主探究
由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：
表一 ．在同一坐标系中，用描点法画出图象．
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
表二 ．
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
（二）合作探讨
材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
材料二：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？
（从定义域，值域，单调性）
我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？
问题2 取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？
问题3 如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？
问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5 上述结论对于指数函数，且及其反函数，且也成立吗？为什么？
（三）巩固练习
1、求下列函数的反函数：
（1）； （2）
2、已知函数的图像经过点（1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），求f(x).
3、求函数 (x∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.
(四) 个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
2.3幂函数
使用说明：
“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”11分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”9分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:
1.了解幂函数的图像和性质，并能进行简单的应用。2.能够类比研究一般函数，指数函数，对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图像和性质。3.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
重点与难点：幂函数的图像和性质；幂函数的性质
学习过程：
（一）自主探究
【问题1】如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
【问题2】如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。
【问题3】如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。
【问题4】如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S的函数
【问题5】如果某人t s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？
幂函数的概念
如果设变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？
幂函数的定义：
（二）合作探讨
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？
试一试：判断下列函数那些是幂函数？
（1） （2） （3） （4）
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？
几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在上边的坐标系内画出函数的图象吗？
【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。
定义域
值域
奇偶性
单调性
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质。
归纳：当时，
请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。
归纳：当时，
。
例题剖析
【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
（1） （2） （3）
【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）
(1) ________ (2)________
(3)__________ (4)____________
（三）巩固练习
1、下列函数中，是幂函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列结论正确的是（ ）
A、幂函数的图象一定过原点
B、当时，幂函数是减函数
C、当时，幂函数是增函数
D、函数既是二次函数，也是幂函数
3、下列函数中，在是增函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、函数的图象大致是（ ）
5、已知某幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为_______________________
6、写出下列函数的定义域，并指出它们的单调性：
（1） （2） （3）
（四）个人收获与问题：
知识：
方法：
我的问题：
（五）能力拓展：
由３2＝９可得到
(1)9是3的平方
（2）3是9的平方根