（试题5）高中数学苏教版选修1-1综合测试

选修1-1综合测试
一、选择题
1．以下判断中正确的是（　　）
Ａ．命题是真命题时，命题“”一定是真命题
Ｂ．命题“”为真命题时，命题一定是真命题
Ｃ．命题“”为假命题时，命题一定是假命题
Ｄ．命题是假命题时，命题“”不一定是假命题
2．设点在抛物线上，且到此抛物线的焦点的距离为7，则点坐标是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．下列命题中的真命题是（　　）
①“，若，则不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若，则的解集为”的逆命题
④“若是有理数，则是无理数”的逆否命题
Ａ．①②③ Ｂ．①④ Ｃ．②③④ Ｄ．①③④
4．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题：肖像不在金盒里．中有且只有一个是真命题，则肖像在（　　）
Ａ．金盒里 Ｂ．银盒里
Ｃ．铅盒里 Ｄ．在哪个盒子里不能确定
6．已知（为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．以上都不对
7．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．下列命题中真命题的个数是（　　）
①{正数}，为正数且
②不存在实数，使且
③，使且
④对实数，若，则
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
9．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（　　）
11．椭圆的两个焦点为，，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．设为的极值点，则（　　）
Ａ．必有 Ｂ．不存在
Ｃ．或不存在 Ｄ．存在但可能不为
二、填空题
13．命题，，是 ．
14．若函数是上的增函数，则的取值范围是 ．
15．制作容积为的方底无盖水箱，它的高为 时最省材料．
16．双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题
17．试求过点且与曲线相切的直线方程．
18．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，求该椭圆的方程．
19．已知曲线，点在该曲线上移动，过的切线设为，
（1）求证：此函数在上单调递增；
（2）求的斜率的范围．
20．设，求证成立的充要条件是．
21．已知为实数，
（1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是递增的，求的取值范围．
22．已知焦点在轴上，中心在原点的双曲线的离心率为2，它的两个焦点为、，为双曲线上的一点，且，的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点在双曲线的虚轴上，且到双曲线中心的距离为，求双曲线上到点距离最小的点的坐标及这个最小值．
参考答案
一、选择题
1．Ｂ
2．Ｂ
3．Ｂ
4．Ｃ
5．Ｂ
6．Ｂ
7．Ｄ
8．Ａ
9．Ｂ
10．Ｃ
11．Ｃ
12．Ｃ
二、填空题
13． ，且
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：点不在曲线上，应先求切点。设所求切线的切点为，是曲线上的一点，。
又过点的切线斜率为，而所求切线过点和两点，
其斜率又应为。，将它与联立得
或即切点分别为或。于是当切点为时，切线斜率，相应切线方程为时，切线斜率，相应切线方程为，即。
18．解：由已知得，则，。
设椭圆方程为，则，，
，，
椭圆方程为。
19．证明：恒成立。所以此函数在上递增。
（2）解：由（1）知，所以的斜率的范围是。
20．证明：（1）充分性：如果，则有和两种情况。
当时，不妨设，则，，等式成立。
当时，即，或。
若，，则，，等式成立。
综上，当时，成立。
（2）必要性：由，且，得，
即，，。
综上可知，是等式成立的充要条件。
21．解：（1）由原式得，
。
（2）由，得，此时有，。
令，得或。
又，，，
在上的最大值为，最小值为。
（3）的图象为开口向上且，，即
，的取值范围为。
22．解：（1）以双曲线的中心为原点，焦点所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则双曲线的方程可设为，。
在中，设，，
，
又，，
，，，
双曲线方程为。
（2）依题意知点的坐标为。当点坐标为时，设点是双曲线上的点，则，
，当且仅当时取“”，此时点的坐标为。
同理可得到点坐标为时，坐标为。
双曲线上到点距离最小的点的坐标为，这个最小的距离值为。
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．