（试题6）高中数学苏教版选修1-1综合测试

选修1-1综合测试
一、选择题：本大题每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的。
1.某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”。初听起来，这似乎只是普通的
的赞美说辞，可实际上它的宣传效果很大，吸引消费者争相购买。那么，该
广告词的等价命题是( )
A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福
C.拥有的人们不一定幸福 D. 不拥有的人们不幸福
2.“两个三角形相似”的一个充分不必要条件是( )
A.它们的面积相等 B.它们的三边对应成比例
C.这两个三角形全等 D.这两个三角形有两个角对应相等
3.若双曲线和椭圆的离心率互为倒
数,则以、、为边长的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.如果椭圆上一点P到它右焦点的距离为10，那么，点P到它的
左准线的距离是( )
A.10 B.6 C.4 D.
5.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C.或 D.
6.“”是方程“表示双曲线”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.都不是
7.函数的导数是( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的奇函数的导函数，则满足
的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数在处有极值4，则( )
A.6 B.6或11 C.11 D.0或6
10.下列结论中，正确的是( )
①“且为真”是“或为真”的充分不必要条件
②“且为假”是“或为假”的充分不必要条件
③“且为真”是“非为假”的必要不充分条件
④“非为真”是“或为假”的必要不充分条件
A.①② B.①④ C.②④ D.③④
11.若函数在处可导，且，则等于( )
A． B． C．3 D．2
12.设为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，
则( )
A.9 B.6 C.4 D.3
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
13.椭圆的离心率为，则的值为 。
14.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于、
两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 。
15.曲线的切线中，斜率最小的切线方程为 。
16.下列四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的
的序号是 (将所有不正确答案的序号都填上).
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
答案：B
解：按导函数(为二次函数)的符号及三次函数的单调性可知图①与②正确，图③与④错误。
三、解答题:本大题共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
若、是实数，求使且成立的充要条件。
18.(本小题满分12分)
设连结双曲线与的四个顶点的四边形面积为，四个
焦点的四边形面积为，求的最大值。
19.(本小题满分12分)
边长为的正方形铁皮，四角各截去边长为的正方形后折成一只无盖的盒子，
问等于多少时，盒子的容积最大？最大容积是多少？
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它与直线相
交于P、Q两点，若，求椭圆方程。
21.(本小题满分12分)
如图，已知梯形ABCD中，点E分
有向线段所成的比为，双曲线过C、D、
E三点，且以A、B为焦点。求双曲线离心率的
值。
22.(本小题满分14分)
已知,,极大值为1,极小值为-1,求、的值.
参考答案
1.答案：D
解：因为该广告词的等价命题就是该广告词的逆否命题。故选D。
2.答案：C
解：答案A是非充分非必要条件；答案B、D是充要条件；答案C是充分不必要条件。故选C。
3.答案：B
解：由已知得，解得，，可知，以、、为边长的三角形是直角三角形。故选B
4.答案：D
解：由椭圆的第一定义可知,点P到它左焦点的距离为6,而椭圆的离心率为,于是由椭圆的第二定义,可知点P到左准线的距离为。故选D。
5.答案：A
解：将化为，可知，，。故选A。
6.答案：A
解：当方程表示双曲线时，；当时，若，则方程表示两条相交直线，只有在且时，方程才表示双曲线。故选A。
7.答案：B
解： ， 。故选B。
8.答案：C
解： ， 在上是增函数，又是奇函数，
可化为，即。
得。故选C。
9.答案：B
解： 函数在处有极值4， ，即，
解得 或 。 或。
故或。
10.答案：B
解：“且为真”时，“或为真”成立，反之，“或为真”时，
“且为真”不一定成立。 ①正确；
“且为假”是“或为假”的充分必要条件， ②不正确；
“且为真”时，“非为假”成立， ③不正确；
“非为真”时，“或为假”不成立，反之，“或为假”时，
“非为真”成立， ④正确。故选B。
11.解：
， 。故选B。
12.答案：B
解：易求得抛物线的焦点F的坐标为，准线为，设、、，则， ， ，可得，从而，6，故选B。
13.答案：
解： 椭圆的离心率为， 或 。
解得 或。
14.答案：2
解：点、的横坐标为，代入得，、的纵坐标分别为。 ，于是半径，而该圆恰好过双曲线的右顶点， 。即，就是，整理为，解得。
15.答案：
解： ， 当时，，此时，切点为，切线方程为，即。
16.答案：B
解：按导函数(为二次函数)的符号及三次函数的单调性可知图①与②正确，图③与④错误。
三、解答题:本大题共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.解：①(先寻找必要条件)若且，则且，得，而，。
②(再证明上面所求得的必要条件又是充分条件)若，则、，从而=，得。
故当、为实数时，使且成立的充要条件为。
18.解： 四个顶点为， ；
四个焦点为， 。
=(当且仅当时“=”号成立)。
故的最大值为。
19.解：设铁盒的容积为V，则
，由及，得。令，得(舍去)或。 时，；而时，。时，。
20.解： ， ，即椭圆方程为，
设、，由得
，，于是，
，
，即，得，解得。故所求椭圆方程为。
21.解：建系如图，设，，其中
为双曲线的半焦距，是梯形的高。
由定比分点坐标公式得，
设双曲线方程为，则离心率。
将C、E的坐标和代入双曲线方程得，
① ②
由①得，代入②并整理得，。故为所求双曲线的离心率。
22.解：求得，
极大值为1，极小值为-1，
(*)有二根，且。 ①
又，即 ②，
，即 ③
②+③得 ④
①入④并整理得， 。 =0。
将代入(*)得，而， ，代入②得=2。
故=2，=0为所求。
O
O
O
O
②
③
④
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
O