2.5 二次函数与一元二次方程 一课一练（含解析）

初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（?? ）
A.?t＞﹣5????????????????????????????B.?﹣5＜t＜3????????????????????????????C.?3＜t≤4????????????????????????????D.?﹣5＜t≤4
2.如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（?? ）
A.?（0， ）???????????????????B.?（ ，0）???????????????????C.?（0，﹣1）???????????????????D.?（﹣1，0）
3.抛物线 与 轴的交点坐标是（ ??）
A.?(0,?1)???????????????????????????????????B.?(1,?0)???????????????????????????????????C.?(0,?-1)???????????????????????????????????D.?(0,?0)
4.抛物线y= -(x-4)2+1与坐标轴的交点个数是(?? )

A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
5.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）
A.?x＝－3?????????????????????????????????B.?x＝－2?????????????????????????????????C.?x＝－1?????????????????????????????????D.?x＝1
6.若二次函数 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程 的解为（??? ）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣ ，y1），（﹣ ，y2），（﹣ ，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3 ， 正确的个数有（?? ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
8.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（???? ）
A.?M=N-1或M=N+1??????????B.?M=N-1或M=N+2??????????C.?M=N或M=N+1??????????D.?M=N或M=N-1
二、填空题
9.若二次函数 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是________.
10.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1 ， 0），（x2 ， 0），则x1+x2＝________.
11.二次函数y=x2＋2x－3与x轴两交点之间的距离为________.
12.抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是________.
三、解答题
13.已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．
14.关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
15.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
16.已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（?? ）
A.?t＞﹣5????????????????????????????B.?﹣5＜t＜3????????????????????????????C.?3＜t≤4????????????????????????????D.?﹣5＜t≤4
【答案】 D
解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
2.如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（?? ）
A.?（0， ）???????????????????B.?（ ，0）???????????????????C.?（0，﹣1）???????????????????D.?（﹣1，0）
【答案】 D
解：∵点A的坐标为（3，0），
∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：D．
3.抛物线 与 轴的交点坐标是（ ??）
A.?(0,?1)???????????????????????????????????B.?(1,?0)???????????????????????????????????C.?(0,?-1)???????????????????????????????????D.?(0,?0)
【答案】A
解：当x=0时，y=1，故抛物线与y轴的交点坐标是（0,1），
故答案为：A.
4.抛物线y= -(x-4)2+1与坐标轴的交点个数是(?? )

A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
【答案】 D
解：由题意令y=0得，-（x-4）2+1=0，
解得x1=4+， x2=4-， 即抛物线与x轴有两个交点；
令x=0，得y=-， 即即抛物线与y轴有一个交点；
∴抛物线与坐标轴有3个交点。故选D。
5.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）
A.?x＝－3?????????????????????????????????B.?x＝－2?????????????????????????????????C.?x＝－1?????????????????????????????????D.?x＝1
【答案】 C
解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（-3，0)，（1，0)．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x==-1．
故选C．
6.若二次函数 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程 的解为（??? ）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
【答案】 D
解：∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则? =? =2，
解得：b=?4，
∴x2+bx=5即为x2?4x?5=0，
则(x?5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2=?1.
故答案为：D.
7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣ ，y1），（﹣ ，y2），（﹣ ，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3 ， 正确的个数有（?? ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
【答案】 B
解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣2，
∴4a﹣b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2 ， 故⑤错误；
故选：B．
8.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（???? ）
A.?M=N-1或M=N+1??????????B.?M=N-1或M=N+2??????????C.?M=N或M=N+1??????????D.?M=N或M=N-1
【答案】 C
解：∵y=（x+a）（x+b），
∴函数图像与x轴交点坐标为 ：（-a，0），（-b，0），
又∵y=（ax+1）（bx+1），
∴函数图像与x轴交点坐标为 ：（- ，0），（- ，0），
∵a≠b，
∴M=N，或M=N+1.
故答案为：C.
二、填空题
9.若二次函数 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是________.
【答案】 k＞-1
解：∵二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴△= ﹥0，
解得： ，
故答案为： .
10.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1 ， 0），（x2 ， 0），则x1+x2＝________.
【答案】 2
解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣ ＝2.
故答案为 : 2.
11.二次函数y=x2＋2x－3与x轴两交点之间的距离为________.
【答案】 4
解：当y=0时，x2+2x-3=0.
解得x1=-1，x2=3，
∴|x1-x2|=4。
故答案为：4。
12.抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是________.
【答案】 且k≠1
解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 .
三、解答题
13.已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．
【答案】 解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．
又∵函数的最大值为9，
∴抛物线的顶点为C（1，9）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+9，代入B（4，0），求得a=﹣1．
∴二次函数的解析式是y=﹣（x﹣1）2+9，
即y=﹣x2+2x+8．
（2）过C作CE⊥x轴于E点．
当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．
∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30．
14.关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
【答案】 解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
15.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
【答案】 解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：，
解得：；
（2）解方程组，
解得：或．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：﹣6＜x＜1．
16.已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，
方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；
（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．
①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．
此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；
②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；
x2=1时，y2=3+2+c=5+c．
由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，
应有 即 ，
解得﹣5＜c≤﹣1．
综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）
（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，
由已知x1=0时，y1=c＞0；
x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．
∴a＞c＞0．（7分）
∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．
又该抛物线的对称轴 ，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得﹣2a＜b＜﹣a，
∴ ．
又由已知x1=0时，y1＞0；
x2=1时，y2＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．