7.5 多边形的内角和与外角和-2021春苏科版七年级数学下册课件(共31张PPT)

第七章 平面图形的认识（二）
二、多边形的内角和
与外角和
教学新知
设多边形的边数为n，则 n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3且为正整数）
多边形内角和之间的关系：
（1）多边形每增加一条边，内角和增加180°；
（2）多边形的内角和一定是180°的倍数；
（3）多边形的边数越多，内角和越大。
所有边都相等，所有角都相等的多边形，叫正多边形。
正多边形每个内角的度数：(n－2) ×?180°÷n。
?
D
B
A
E
C
知识要点
2.通过将多边形分割成三角形，探索出多边形内角和的计算公式，能运用相关结论进行有关的推理和计算。
1.理解多边形内角和的推导方法 ，会用多边形内角和公式求多边形的内角和。
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知识点1：三角形的内角和.
【例】△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【讲解】引用辅助量x，用x表示出△ABC的三个内角，在△ABC中，运用三角形内角和性质构造方程，解方程后，求出△ABC中最的大角∠C=90°，从而判断△ABC的形状.
答案：△ABC是直角三角形.
理由：∵∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，
∴可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、（2x）°、（3x）°
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在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）
∴x+2x+3x=180
解之得：x=30
∴∠C=（3x）°=90°
∴△ABC是直角三角形.
【方法小结】在明确三角形的三个内角关系的条件下,求三角形的内角时,常用方程思想,即运用“三角形三个内角的和等于180°”作为相等关系列方程来求角.
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知识点：多边形的内角和
【例】小美在计算一个多边形内角和时，漏算了一个内角，其余各内角之和为1680°那么除去的这个内角的度数为 ．
120°
【讲解】∵1680°÷180°=9…60°，又120°+60°=180°∴这个内角度数为120°．
【方法小结】多边形的内角和是180°的整数倍，因此考虑用除法求得多余或者缺少的角的度数．
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【小练习】
1. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 　　 B．五边形 C．六边形　 　　D．七边形
B
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2.如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数.
3.小丽同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°.?当她发现错了之后，重新检查，发现少算了一个内角，你能求出这个内角是多少度，她求的是多少边形的内角和？
【参考答案】七边形。
【参考答案】九边形。
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知识点：多边形的外角及外角和
【例】已知一个多边形的内角和比外角和多360°,求这个多边形的边数.
【讲解】任意多边形的外角和都等于360°,则这个多边形的内角和等于360°
+360°,利用方程思想可求出多边形的边数.
【解】设这个多边形的边数为n,则它的内角和是（n-2）·180°,因为任意多边形的外角和是360°,所以得（n-2）·180°=360°+360°.解得n=6.所以，这个多边形的边数是6.
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【小练习】
1．（2015?重庆模拟）将一副直角三角板如图7.5-34放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（　　）
D
图7.5-34
A.30° B.45° C.60° D.75°
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2. 三角形三个外角比为3∶4∶5,则三个内角比为__________。
3. （2012江苏南京中考）如图7.5-35，∠1 、 ∠2 、 ∠3 、 ∠4 是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=120° ，则∠1 + ∠2 +∠3 + ∠4= ____________。
?
3∶2∶1
300°
图7.5-35
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4．一个多边形的内角和与外角和的和为2520°，求这个多边形的边数．
【参考答案】14边形．
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考点： 三角形内角和性质.
【例】（2014江苏镇江）如图7.5-5，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝_______°．
图7.5-5
45°
【讲解】垂线带来直角三角形，三角形三个内角的和等于180°，平行线带来相等的角(或互补的角)等等，这是根据已知角求未知角之类的问题要能够发现的信息.
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1.（2015四川省绵阳）如图7.5-7,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC= （ ）.
A．118° B．119° C．120° D．121°
C
图7.5-7
2．(2014湖北襄阳)如图7.5-8，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
A
图7.5-8
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3.（2014湖南益阳）如图7.5-9，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=
80°．求∠C的度数．
图7.5-9
【参考答案】解法一：∵EF∥BC, ∴∠BAF=180°－∠B=100°.
∵AC平分∠BAF, ∴∠CAF=12∠BAF=50°,∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°.
解法二：∵EF∥BC, ∴∠BAF=180°－∠B=100°.∵AC平分∠BAF, ∴∠BAC=12∠BAF=50°,
∵∠C+∠B+∠BAC=180°，∴∠C=180°－（80°+50°）=50°。
?
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考点：多边形的内角和.
【例】（2014山东莱芜）若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【讲解】正多边形的内角和为： °，每个内角都相等，直接代入公式，得15. 选C.
【方法小结】掌握多边形的内角和公式．直接代入.
C
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1. （2015浙江省丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是　（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D七边形
2. （2014?毕节地区）如图7.5-22，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）
B
C
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图7.5-22
A．13 B．14 C．15 D．16
3．（2014福建厦门）四边形的内角和是 ．
360°
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4. （2014 巴中）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正　 　边形．
八
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考点： 多边形的外角和
【例】（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图7.5-36所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=　　　度．
70°
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图7.5-36
图7.5-37
知识梳理
【讲解】 如图7.5-37，∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，
∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，
∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，
∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．
故答案为：70°．
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【方法小结】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此类题的关键．
【实战演练】
（2014?昆明）如图7.5-38，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC
=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
A.85° B.80° C.75° D.70°
A
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图7.5-38
2.（2015贵州省铜仁）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
图7.5-11
课堂练习
1. 在△ABC中,已知∠A=2∠B,∠C=3∠B,则三角形△ABC是（??? ）.
A.锐角三角形? B.直角三角形? C.钝角三角形 ???D.形状无法确定
2. 如图7.5-11，与∠ACE互余的角的个数有（??? ）．
A．1个 ?　?B．2个 ??? C．3个 ???　D．4个
B
C
课堂练习
3.若n边形的内角和是1260°，则边数n为( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
4. 一个多边形的每一个内角都是144°,则此多边形的边数为( )．
A.8 B.10 C.12 D.14
B
B
1. 在凸10边形的所有内角中，锐角的最多个数是（ ）
A．0 　　　 B．1 　　　C．3 　　　D．5
C
课堂练习
5. 一个正多边形它的一个外角等于与它不相邻的内角的13，则这个多边形是（　　）
A.正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D.正六边形
?
C
6. 若一个直角三角形的一锐角为20°，则另一锐角为______．
70°
课堂练习
图7.5-24
7.（2013?乐山）如图7.5-24,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线?与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2= ．
?
225°
图7.5-14
课后习题
1. 已知△ABC中,∠B是∠A的2倍, ∠C比∠A大20° ,则∠A等于( )
A. 40° 　 B. 60°　 C. 80°　 D. 90°
2. 如图7.5-14，三角形被遮住的两个角不可能是 ( )
A.一个锐角，一个钝角 B.两个锐角 C.一个锐角，一个直角D.两个钝角
A
D
课后习题
3. 一个三角形的3个内角中，最多能有_______个直角；最多能有_______个钝角；最少有_______个锐角（　　　）．
A.1，1，1　　B.1，2，1　　C.2，1，1　　D.2，2，2
4. 某多边形的内角和是其四边形内角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
B
D
课后习题
5. （2014?来宾）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（　　）
　A. 四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
6.如图7.5-26，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为( )
A．4π B．2π C．π D．无法确定
A
C