9.2 多项式的因式分解-2021春苏科版七年级数学下册课件(共22张PPT)

第九章 整式乘法与因式分解
二、多项式的因式分解
教学新知
用完全平方公式分解因式：
a2＋2ab＋b2＝ (a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝ (a－b)2．
用平方差公式分解因式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
知识要点
2.会用提取公因式法进行因式分解，感受因式分解在简化计算和解方程中的作用。
1.理解和体会因式分解的意义。
3.掌握用平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用。
4.理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式。
知识梳理
知识点1：因式分解的定义
【例】下列由左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A.a（x+y）=ax+ay 　　B.10a2-5a=5a（2a-1）
C.x2-4x+5=（x-2）2+1 D.t2-s2+2ts=（t-s）（t+s）+2ts
【讲解】根据因式分解就是把多项式化成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
知识梳理
解：A.是整式的乘法，故本选项错误；B.10a2-5a=5a（2a-1），正确；C.右边不是积的形式，故本选项错误；D.右边不是积的形式，故本选项错误．故选B.
【方法小结】因式分解与整式的乘法是互逆运算，因式分解是的结果是几个整式的积的形式，可用多项式的乘法检验.
【小练习】
下列从左到右属于因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a-3）=a2-9 　　B．x2-2x+3=（x-1）2+2
C．x2-6x+9=（x-3）2　　　　　　　D．a2-5a-6=（a-2）（a-3）
C
知识梳理
知识点2：公因式
【例】指出下列多项式的公因式： （1）3a2y?3ay+6y
（2） ??27a2b3+36a3b2+9a2b
?
【讲解】（1）中系数为3、—3、6的最大公约数是3，所以公因式的系数为3，有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式为3y．（2）此多项式的第一项是“—”号，应将“—”提取变为—（27a2b3—36a3b2—9a2b），多项式27a2b3—36a3b2—9a2b各项系数的最大公约数为9，且a的最低次幂为2，b的最低次幂是1，所以这个多项式的公因式为—9a2b．
知识梳理
解：(1）3y；（2）—9a2b
【方法小结】找准公因式要“五看”即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“—”号，则公因式符号为负数．
【小练习】
1. 多项式36a2bc﹣48ab2c+24abc2的公因式是（　　）
A．12a2b2c2 B．6abc C．12abc D．36a2b2c2
知识梳理
2. 观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是 。
【参考答案】1. C　　2. B　　3. 4xmyn﹣1
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知识点3： 提公因式法分解因式.
【例】．因式分解
（1）a2b﹣5ab+9b　　　（2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2．
【讲解】 （1）直接提取公因式b即可；
（2）由于（x﹣y）2=（y﹣x）2，先直接提取公因式（x﹣y）2，再整理即可.解：（1）a2b﹣5ab+9b=b（a2﹣5a+9）；
（2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2=（x﹣y）（x﹣y）2=（x﹣y）3．
【方法小结】找出公因式，再分解，第（2）题转化为相同底数是求解的关键
知识梳理
【小练习】
1. 下列多项式能用提公因式法分解的是 ( )．
A．4a2＋9b2 B．4a2－9b2
C．2a2－ab D．4a2－12ab＋9b2
2. （1）计算：a（a﹣2）；（2）分解分式：m2﹣3m．
3. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）2[1+x]
知识梳理
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　　　法，共应用了　　　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需要应用上述方法　　　次，分解因式后的结果是　　　．
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程．
知识梳理
【参考答案】1. C　　2. （1）a（a﹣2）=a2﹣2a．（2）m2﹣3m=m（m﹣3）　　3. 解：（1）根据已知可以直接得出答案：提取公因式，2；（2）2015，（1+x）2016；
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣1）]=（1+x）2[1+x+x（1+x）x（1+x）（n﹣2）]=（1+x）n+1．
知识点梳理
知识点：平方差公式分解因式.
知识梳理
【例】把下列各式因式分解：（1）
（2）
【讲解】此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解
（1）
＝
＝
知识梳理
（2）
＝
＝
＝
＝(24a＋2b)(2a＋24b)
＝4(12a＋b)(a＋12b)
【方法小结】掌握平方差公式的特点，注意公式中的字母具有普遍性，可以只表示一个数，也可以表示一个单项式或多项式.学习中，还要有“整体”、“代换”等思想.同时，有些多项式还要先做适当变形，使它符合公式特点后再运用公式．
知识梳理
【小练习】
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（-b）2 B．5m2-20mn 　C．-x2-y2 D．-x2+9
2. 计算：1﹣4a2=　 　
3. 把下列各式分解因式：
（1）49????2－009 ????2
?
（2） ????2????4 － 116
?
（3） (2a ＋b)2－(a －2b)2
知识梳理
【参考答案】1. D 2. （﹣1﹣2a）（2a﹣1）　3. （1）(23????+＋0.3n)
(23????－0.3n)

?
（2）(????????2＋14 )(????????2－14)
?
（3）(3a －b )(a ＋3b)
?
课堂练习
1.因式分解4﹣4a+a2，正确的是（　　）
A.4（1﹣a）+a2 B.（2﹣a）2 C.（2﹣a）（2+a）
D.（2+a）2
2. 若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
B
D
课堂练习
3. 计算：4x2﹣9y2= _____________________.
4. 一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为　 　cm．
5
（2x+3y）（2x﹣3y）
5. 简便计算：
(1)
(2)
原式
原式
课堂练习
参考答案：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2=3mn（2m﹣5n+10mn）
（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）=（x﹣y）（x2﹣xy﹣y）
(3)
(4)
6．把下列各式分解因式：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2；
（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）;（3）15（a－b）2－3y（b－a）; （4）（m＋n）（x－y）－（m＋n）（x＋y）.
课后习题
1. 在下列多项式中，没有公因式可提取的是（　　）
A.3x－4y B.3x+4xy C.4x2－3xy D.4x2+3x2y
2. 分解8a3b2﹣12ab3c时应提取的公因式是（　　）
A．2ab2 B．4ab C．ab2 D．4ab2
A
D
3. 多项式24ab2－32a2b提出公因式是 .
4. 若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝ ．
8ab
－5
课后习题
5. 分解分式：（1）m2﹣3m；（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（3）4ab﹣a2　;（4）（3x+2y+1）2﹣（3x+2y﹣1）（3x+2y+1）.
参考答案：（1）m（m﹣3）， （2）2x（a﹣b）， （3）a（4b﹣a），
（4）2（3x+2y+1）　
课后习题
6. 父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且x2－xy=1040，请你求一求父亲和儿子今年各多少岁．
7. 证明：32016－32015－32014能被15整除．
参考答案：因为x2－xy=1040，所以x(x－y)=l040．所以26x=1040．所以x=40，y=14．所以父亲今年40岁，儿子今年14岁。
参考答案： 32016－32015－32014=32014×32－32014×3－32014=32014×(32－3－1)=32014×5=32013×3×5=32013×15，所以一定能被15整除．