12.1 证明-2021春苏科版七年级数学下册课件(共47张PPT)

第十二章 证明
12.1 证明
教学新知
证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．
定理：经过证明的真命题称为定理．
1.经历探索些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定个数学结论的正确性的过程，举反例说明结论的错误性，初步感受说理的必要性.。
知识要点
2.尝试用说理的方法解决问题，在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力。
图12.2-8
知识梳理
知识点梳理
知识点：事件的判断.
【例】如图12.2-8，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一只拳头吗？
知识梳理
【讲解】解：设地球赤道的周长为c,半径为R1 ,铁丝的半径为R2，
则R2?R1=????+12?????????2????=12????≈0.16（m）
显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头.
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【方法小结】不能仅凭表面直觉去判断，计算是检验数学结论常用的方法.
【小练习】如图12.2-9，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？
知识梳理
图12.2-9
【参考答案】直觉上判断第二个大圆内的两个小圆的周长之和大一些.我们可以通过计算来证明.设原来大圆的半径为R，则第一个大圆内的每个小圆的半径为????10，则第一个大圆内的十个小圆的周长之和为10×2????× ????10= 2????????；第二个大圆内的两个小圆的周长之和为2×2????× ????2= 2????????；所以它们的周长一样长.
?
知识梳理
知识点梳理
知识点1：证明与定理.
【例】如图12.2-20，已知AB∥EF，CD∥EF，AB⊥BC，说明CD与BC的位置关系．
图12.2-20
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【讲解】∵AB∥EF，CD∥EF（已知），
∴AB∥CD，∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC=90°（垂直的定义）．
∴∠BCD=180°-90°=90°（等式的性质），
∴CD⊥BC（垂直的定义）．
【方法小结】根据已知条件，再结合要证明的，由果索因，综合推理.
【小练习】
知识梳理
1． 在小括号里填写证明理由：已知：如图12.2-21，点A、O、B在一直线上，OM 平分∠AOC，ON平分∠BOC，求证：OM⊥ON．
图12.2-21
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证明： ∵OM平分∠AOC（ ）
∴∠1=12∠AOC（ ）
∵ON平分∠BOC（ ）
∴∠2=12∠BOC（ ）
∴∠1+∠2=12∠AOC+ 12∠BOC=∠MON （ ）
∵A、O、B在一直线上（ ）
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已知
角平分线定义
已知
角平分线定义
等式性质
已知
知识梳理
∴∠AOB=180°（ ）
∴∠1+∠2=12 ×180°= 90°（ ）
∴OM⊥ON（ ）
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平角定义
等量代换
垂直定义
2．如图12.2-22：已知BC平分∠ACD，且∠1=∠2，求证：AB∥CD．
图12.2-22
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【参考答案】证明：∵BC平分∠ACD（已知），∴∠1=∠BCD（角平分线定义），∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BCD（等量代换），∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行）．
知识点梳理
知识点1：三角形内角和定理的应用.
【例】如图12.2-40，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°??12∠A．
?
知识梳理
【讲解】∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线（已知），
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB（角平分线定义），
又在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°（等量代换），
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BOC=12∠A+90°（等式性质）．
?
图12.2-40
知识梳理
【方法小结】紧扣三角形内角和等于180°，并能把∠OBC与∠OCB的和视为整体处理．
【小练习】
已知：如图12.2-41，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．
【参考答案】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+∠DFE=180°
（两直线平行，同旁内角互补）．
图12.2-41
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又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P（已知），
∴∠PEF=12∠BEF，∠PFE=12∠DEF
（角平分线定义），
∴∠PEF+∠PFE=12（∠BEF+∠DFE）=90°（等式性质）．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°
（三角形内角和等于180°），
∴∠P=90°（等式性质）．
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图12.2-42
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知识点2： 三角形内角和定理的推论
【例】已知：如图12.2-42，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
试说明∠M= 12 （∠B+∠D）．
?
知识梳理
【讲解】证明：∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD（已知），
∴∠BAM=∠MAD，∠MCB=∠MCD（角平分线定义），
∵∠ANC=∠B+∠BAM=∠M+∠MCB、
∠AEC=∠MCD+∠D=∠MAD+∠M（ 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠M=∠B+∠BAM-∠MCB①，
∠M=∠MCD+∠D-∠MAD②（等式性质），
∴①+②得：2∠M=∠B+∠D（等式性质），
∴∠M= 12 （∠B+∠D）（等式性质）．
?
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【方法小结】运用三角形内角和定理的推论来转化。
【小练习】
已知如图12.2-43，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线．
求证：∠A=2∠H．
图12.2-43
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【参考答案】证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角（已知），
∴∠ACD=∠ABC+∠A（ 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠2是△BCD的一个外角（已知），
∴∠2=∠1+∠H（ 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线（已知）
∴∠1= 12 ∠ABC，∠2= 12 ∠ACD（角平分线性质 ）
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2（∠2-∠1）（等式的性质）
而∠H=∠2-∠1（等式的性质）
?
知识梳理
中考在线
考点：简单的证明、推理 .
【例】（2015台州）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（?? ）
A.若甲对，则乙对??? B.若乙对，则甲对? C.若乙错，则甲错??
D.若甲粗，则乙对
D
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【讲解】 假设甲说的对，则参加两种比赛的人次大于28，因为共有20位同学，因此两项都参加的人数大于8人次，故乙说的错误；
假设乙说的对，则参加两种比赛的人次小于25，因为共有20位同学，因此只参加一项的人数不大于12人，故甲说法错误；
故选：D．
【方法小结】分两种情况分别进行分析/推理与论证.
【实战演练】
1. （2014河北）如图12.2-44，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（ ）。
B
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A．20°　 B．30°　 C．70°　 D．80°
2.（2014?永州）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是_____________________．
BABBA
知识梳理
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}题号
答案
选手
1
2
3
4
5
得分
小聪
B
A
A
B
A
40
小玲
B
A
B
A
A
40
小红
A
B
B
B
A
30
3. (2014年湖北随州)将一副直角三角板如图12.2-45放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　 　 度．
75
知识梳理
图12.2-45
4. (2014年福建厦门）A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队
知识梳理
（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【参考答案】 A队的积分至少要7分才能保证一定出线。
课堂练习
1. 今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，( 　 ).
A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定
B
2.如图12.2-46,在△ABC中,∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC
的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
A
课堂练习
图12.2-46
3.（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　）
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
D
课堂练习
4．你认为图12.2-12中，大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想．
图12.2-12
【参考答案】周长相等。
课堂练习
5. 两个连续奇数的平方差能被8整除吗？请说明你的理由．
【参考答案】两个连续奇数的平方差能被8整除．理由：设这两个连续奇数分别为：（2n+1）与（2n-1），∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．
∴两个连续奇数的平方差能被8整除．
6. 如图12.2-24，若∠3=∠4，你能说明AD∥BC，AB∥DC吗？
小亮回答：都行，∵∠3=∠4，∴AD∥BC，AB∥DC．
课堂练习
图12.2-24
小亮错在哪里，请指出错因，并改正．
【参考答案】1.解：∵∠3=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），由于没有其它条件不能识别AD∥BC　
课堂练习
7．根据提示，同桌合作，完成括号内的依据.
如图12.2-25，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
图12.2-25
课堂练习
证明：BE∥DF．理由如下：
∵∠A=∠C=90°（　 　），
∴∠ABC+∠ADC=180°（ 　　　 　 ）．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=12∠ADC（ 　　 　）．
∴∠1+∠3=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°=90°（等量代换）．
又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），
?
已知
四边形的内角和等于360°
角平分线的定义
课堂练习
∴∠3=∠AEB（等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
BE∥DF
8. 如图12.2-49，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.
图12.2-49
课堂练习
【参考答案】（方法不惟一）如图12.2-50， 过E点作EF∥AB，（已作），∴∠1=∠B，（两直线平行，内错角相等），又∵AB∥CD，（已知），∴EF∥CD，∴∠2=∠D，∴∠B+∠D=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D．（等量代换）
图12.2-50
课后习题
1. 图12.2-13中，有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心0按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45.，第1次旋转后得到图(1)，第2次旋转后得到图(2)，…，则第10次旋转后得到的图形与图(1)～(4)中相同的是( )．
图12.2-13
B
课后习题
2.对于图12.2-27中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
图12.2-27
D
课后习题
3. （2012?长春）如图12.2-51，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（　　）
图12.2-51
A．42° B．45° C．48° D．58°
C
课后习题
4. 观察后测量图12.2-14中a，b，c，d四条直线， 。
图12.2-14
a ∥ c
课后习题
5. 如图12.2-28，AB∥CD，∠B=∠C，求证：AC∥BD．
图12.2-28
证明：∵AB∥CD（ 　　　），
∴∠A+∠C=180°（ 　　　　），
已知
两直线平行，同旁内角互补
课后习题
又∵∠B=∠C（　　　　），
∴∠A+∠B=180°（　　　　），
∴AC∥BD（　 　　　）．
已知
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
6.如图12.2-31，AB∥CD，直线MN分别叫AB，CD于点E、F．EG平分∠AEF，EG⊥FG于点G，若∠BEM＝50°，则∠CFG＝ °．
图12.2-31
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课后习题
7.如图12.2-53,∠1是Rt△ABC的一个外角,直线DE∥BC,分别交边AB、AC于点D、E,∠1=120°,则∠2的度数是 ．
图12.2-53
30°
课后习题
8. 若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数
（1）28和76是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（k为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？为什么？
课后习题
【参考答案】 （1）是,∵28=82-62，76=202-182.（2）是,∵（2k+2）2-（2k）2=8k+4=4（2k+1），
∴由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数
9. 如图12.2-17,请你观察，黑白方格间的横线平行吗？先猜想，然后利用合适的方法验证你的猜想.
图12.2-17
课后习题
【参考答案】通过观察黑白方格间的横线不平行，用三角板和直尺验证后发现他们是平行的.
10. 已知：如图12.2-32，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30°，∠1=60°．求证：AB∥CD．
【参考答案】证明：∵GH⊥CD（已知）∴∠CHG=90°（垂直定义）．又∵∠2=30°（已知），∴∠3=60°．∴∠4=60°（对顶角相等）．又∵∠1=60°（已知），∴∠1=∠4．∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
课后习题
图12.2-32
11. 已知，如图12.2-55,在△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．求证：∠DAE=12（∠B－∠C）
?
课后习题
图12.2-55
【参考答案】由图知，∵∠BAC＋∠B＋∠C =180°（三角形内角和等于180°），∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质），∵AD是BC边上的高（已知），∴∠ADB=90°（三角形高的定义），∵∠BAD＋∠B＋∠ADB=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BAD=180°－∠B－∠ADB=90°-∠B（等
课后习题
式性质），∵AE平分∠BAC（已知），∴∠BAE=12∠BAC（角平分线定义），∵∠DAE=∠BAE-∠BAD（角的和差定义），∴∠DAE=12（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=90°- 12∠B-12 ∠C-90°+∠B=12（∠B-∠C）（等式性质）