(共22张PPT)
9.4
矩形、菱形、正方形（3）
——菱形的性质
知识回顾
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
特殊化
平行四边形的性质
矩形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
活动一
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
相信你能解释
!
AB=BC
四边形ABCD是菱形
ABCD
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O
（1）若AB=AD，则□ABCD是
形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是
形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是
形。
A
B
C
D
O
菱
矩
矩
菱
一展身手
你能举出生活中的菱形的实际例子吗？
追问：你能画出一个菱形吗？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
活动二
相信你能解释
!
探究菱形的性质
B
D
A
C
菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线.
(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?
它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
性质1：
菱形的四条边都相等。
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=CD
AD=BC
(平行四边形的两组对边分别相等）
∵
AB=AD
∴
AB=BC=CD=AD
B
C
A
D
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
A
B
C
D
O
在△ABD中，
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
求证：AC⊥BD
；
AC平分∠BAD和∠BCD
；BD平分∠ABC和∠ADC
性质2：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
同理：
AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
菱形的性质
A
D
C
B
O
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行且相等
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴
AD
BC
AB
CD
∥
=
菱形的四条边相等
∴
AB=BC=CD=DA
菱形的两组对角分别相等
∴
∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
菱形的邻角互补
∴
∠DAB+∠ABC=
180°
菱形的两条对角线互相平分
∴
OA=OC;OB=OD
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
∴
AC⊥BD
∠1=∠2
∠3=∠4
∠5=∠6
∠7=∠8
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线。
1
2
4
3
5
7
6
8
菱形和平行四边形都具有的性质是（
）
A、四条边都相等
B、两条对角线互相平分
C、两条对角线互相垂直
D、每条对角线平分一组对角
B
性质识记
例1：菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证：OE＝OF。
典例剖析
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∠BAC=
∠DAC
∵E、F分别是AB、AD的中点
∴AE=0.5AB
AF=0.5AD
∴AE=AF
又∵AO=AO
∴△AOE
≌
△AOF
∴OE=OF
还有另外的证法吗？
在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半！
变式：四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的
交点，已知AB=5cm，AO=4cm，
求对角
线BD的长。
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
BD=2OB
∴
∴OB=3
∴
BD=2OB=6
cm
5
4
3
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能
计算菱形的面积公式吗?
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
ABCD=S△ABD+S△BCD=
AC×BD
菱形的
两条对角线互相平分
菱形的对边平行
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的对角相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形是轴对称图形：对称轴是对角线所在的直线
菱形是中心对称图形：对称中心是对角线的交点
例2.在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b，AC、BD相交于点O．
⑴用含a、b的代数式表示菱形ABCD的面积S．
⑵若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面积和周长．
菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
D
O
A
C
B
典例剖析
（1）
S=
ab
（2）
S=6
cm?
C=10
cm
变式1.已知:如图,四边形ABCD是边长为
13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
求:(1).对角线AC的长度;
(2).菱形的面积
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，
∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（
分别精确到0.01m和0.1m
）
解：∵
花坛ABCD是菱形
∴
花坛的两条小路长
AC
=
2AO
=
20
(m)
BD
=
2BO
≈34.64(m)
∴
AC⊥BD,
∠ABO
=
∠ABC
=
×60°=30°
在Rt△OAB中，AO=
AB=
×20=10(m)
BO=
≈17.32（m）
花坛的面积
=
AC·BD≈346.4
(
)
学以致用
试一试
在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD
，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？
D
A
O
B
C
ABCD=S△ABD+S△BCD
S
=
×10×18=90
=
BD·AC
=
·BD·
(AO+CO)
+
BD·CO
=
BD·AO
你有什么
发现？
对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为
，面积为
。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线AC长为16
，此菱形的边长为
。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方的
A.
2倍
B.
3倍
C.4倍
D.
5倍
5
24
10
C
有关菱形问题可转化为直角三角形或
等腰三角形的问题来解决
（
）
学以致用
（4）:已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是
。
12和16
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
有一个角是直角
菱形
四边形
有一组邻边相等
你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
课堂反思
四边形集合
平行四边形集合
菱形集合
矩形集合
★从概念上来谈；
●从性质上来谈；
※从计算上来谈．
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
你敢挑战吗？回去想一想
A
B
C
D
E
F(共27张PPT)
第9章
中心对称图形
9.4矩形的性质
9.4矩形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四边形性质
对角相等
邻角互补
对边平行且相等
对角线互相平分
中心对称
温故知新
如图是一个平行四边形的活动框架,改变框架的形状，观察并思考如下问题.
（1）在变化过程中,有哪些几何元素发生了变化?
（2）在变化过程中,是什么导致了框架形状的变化?
动手操作
9.4矩形的性质
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
9.4矩形的性质
矩形定义
记作：矩形ABCD
A
B
C
D
生活中矩形随处可见，你能举例说一说吗？
9.4矩形的性质
9.4矩形的性质
平行四边形所具有的性质是不是矩形都具有呢？
矩形是平行四边形。
9.4矩形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四边形性质
对角相等
邻角互补
对边平行且相等
对角线互相平分
中心对称
矩形性质
9.4矩形的性质
矩形是有一个角是直角的特殊的平行四边形，那矩形还具有那些平行四边形所不具有的特殊性质呢？
边
角
对角线
对称性
平行四边形性质
对角相等
邻角互补
对边平行且相等
对角线互相平分
中心对称
矩形性质
利用手中的量角器、尺及矩形纸片，来探究矩形的性质。
矩形性质
四个内角都是直角
对边平行且相等
对角线相等且互相平分
既中心对称
又轴对称
9.4矩形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四边形性质
对角相等
邻角互补
对边平行且相等
对角线互相平分
中心对称
9.4矩形的性质
小杰家两台形状不相同的彩电，长和宽都不是34英寸，却都叫34英寸彩电？你知道为什么吗？
C
A
D
B
观察：矩形的每条对角线将矩形分割成了几个三角形呢，他们有什么特点？
9.4矩形的性质
9.4矩形的性质
观察：矩形的两条对角线将矩形分割成了几个三角形呢，他们形状和大小有什么关系？
C
A
D
B
O
9.4矩形的性质
A
D
B
O
C
这张图中蕴含着我们学过的一个定理，你发现了吗？
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（
）
A
对角线相等
B
对边相等
C
对角相等
D
对角线互相平分
9.4矩形的性质
A
2.在矩形ABCD中，若AB=3,BC=4，则矩形的周长=____；矩形的面积=
；AC=___；BD=___.
14
12
5
5
课堂练习
3.矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为
.
4.如图，EF过矩形对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（
）
A.
C.
B.
D.
C
4cm2或12cm2
9.4矩形的性质
课堂练习
5.在矩形ABCD中,若∠BCA=300,AB=3,则AC=__
连结BD交AC于O，则BO=___；∠AOB=
____；
∠BOC=
；AC,BD所形成的锐角是____.
6
3
600
1200
600
9.4矩形的性质
6.在矩形ABCD中,AP⊥BD于P,BP:PD=1:3,且AC、BD相交于点O,则∠AOB的度数是____.
60°
课堂练习
9.4矩形的性质
课堂练习
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD,交AB的延长线于点E．AC与EC相等吗？为什么？
9.4矩形的性质
小杰同学将矩形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边上的F点，这时他量得∠BAF＝50°，他说：“我不用量角器，就能得出∠AEF的度数。”同学们：你们知道他怎样做到的呢？
D
C
B
A
E
F
D
C
B
A
E
F
如果已知AB=80，AD=100，那么你知道FC的长度吗？
9.4矩形的性质
小杰同学将矩形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边上的F点，这时他量得∠BAF＝50°，他说：“我不用量角器，就能得出∠AEF的度数。”同学们：你们知道它怎样做到的呢？
小杰同学又对矩形做了进一步的研究,它将矩形纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，若∠EBD＝30°。
现在他要考考大家：不经过测量你能知道∠C'DE的度数吗？
9.4矩形的性质
A
B
C
D
E
C'
归纳总结：
同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获，哪些体会呢？
9.4矩形的性质
1.矩形的定义
2.矩形的性质
有一个角是直角的平行四边形是矩形
归纳总结：
9.4矩形的性质
矩形性质
四个内角都是直角
对边平行且相等
对角线相等且互相平分
既中心对称
又轴对称
边
角
对角线
对称性
3.四边形、平行四边形、矩形之间的关系
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4，则对角线AC=___。
120°
1.下列语句中正确的有_____________
.（填序号）
(1)矩形的四个角相等
(2)平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
(3)矩形具有平行四边形所具有的一切性质
(4)平行四边形具有矩形所具有的一切性质
4
课后作业
9.4矩形的性质
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE.则∠BAE=
?；∠DAE=
?.
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，CH⊥BD，垂足为H，
若∠DAC=30°，∠CAE=___?；∠OCH=___?.
课后作业
9.4矩形的性质
谢谢，祝天天进步！
9.4矩形的性质
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4，则对角线AC=___。
120°
8
1.下列语句中正确的有_____________
.（填序号）
(1)矩形的四个角相等
(2)平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
(3)矩形具有平行四边形所具有的一切性质
(4)平行四边形具有矩形所具有的一切性质
（1）、（3）
4
课后作业
9.4矩形的性质
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE.则∠BAE=
?；∠DAE=
?.
60
30
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，CH⊥BD，垂足为H，
若∠DAC=30°，∠CAE=___?；∠OCH=___?.
15
30
课后作业
9.4矩形的性质(共20张PPT)
9.4矩形、菱形、正方形（4）
——菱形的判定
矩形
菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
前面的课程中，我们已经学习了矩形和菱形的性质，下面我们对这些内容做一个回顾：
想一想
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着思考，菱形的第一种判定方法是什么？
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
根据定义得：
A
B
C
D
还有什么其他的判定方法吗?
几何语言：
∵在
ABCD中，AB=AD，
∴
ABCD
为菱形。
在前面的课程中，我们已经知道：
菱形的四条边都相等
四条边都相等的四边形是菱形吗？
B
A
D
C
命题：
有四条边相等的四边形是菱形。
几何语言:
∴四边形ABCD是平行四边形
已知：在四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
证明:
∴四边形ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)
∵
在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵AD=BC
AB=CD
又∵AB=AD
定理：
有四条边相等的四边形是菱形。
B
A
D
C
同样的，
我们来研究菱形另一个性质定理的逆命题。
菱形的对角线互相垂直
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确吗?
B
A
D
C
操作
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：若平行四边形是菱形，则对角线应互相垂直
B
A
D
C
分析：AD=CD,点D在AC的垂直平分线上
同理可得：点B在AC的垂直平分线上
点A在BD的垂直平分线上
点C在BD的垂直平分线上
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在
中，AC
⊥
BD
ABCD
ABCD
求证：
是菱形
证明：
∴
ABCD是菱形
又∵
AC
⊥
BD;
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∴BA=BC
A
B
C
D
O
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形,
AC
⊥
BD;
∴
ABCD是菱形
(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)
∴
BD垂直平分AC
菱形常用的判定方法
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
定理：有四条边相等的四边形是菱形。
判断下列说法是否正确？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
（
）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
（
）
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等
（
）
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
（
）
组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
练习：概念辨析
∟
A
D
B
C
例题1
已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。
说明：四边形AFCE是菱形。
A
B
E
D
C
F
O
1
2
4
3
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
定理：有四条边相等的四边形是菱形。
分析：
垂直平分线
邻边相等
平行四边形？
垂直平分线
两组邻边相等
第三组邻边相等？
EF垂直平分AC
AC垂直平分EF
?
OE=OF,AO⊥EF
AF=CE？
例题1
已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。
说明：四边形AFCE是菱形。
A
B
E
D
C
F
O
1
2
解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
4
3
∵
EF垂直平分AC
∴AO=CO,AF=CF,
∴
△AOF≌△COE
∴
AF=CE
∴平行四边形AFCE是菱形
又∵
AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形
练习：
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
说明:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4
OB=OD=3
解:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴AB2=AO2+BO2
对于这道题，小林同学是这样证明的。
解：∵AD平分∠EAF，
∴∠1＝∠2,
∵DE∥AC，∴∠2＝∠3
∵DF∥AB，∴∠1＝∠4
又有AD=AD,∴△AED≌△AFD.
∴AE＝AF,DE=DF.
∴四边形AEDF是菱形.
老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？
例题2：已知如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB.
说明：四边形AEDF是菱形。
1
2
3
A
B
C
E
D
F
4
练习：已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
说明：AD⊥EF。
1
2
3
解：∵DE∥AC
,DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∴
∠2=∠3
∵
AD是△ABC的角平分线
∴
∠1=∠2
∴
∠1=∠3
∴
AE=DE
∴
□AEDF是菱形
∴
AD⊥EF
∵DE∥AC
A
B
C
E
D
F
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
课堂小结：
文字语言
图形语言
符号语言
判定法一
∵
判定法二
四边相等的四边形是菱形
判定法三
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的判定：
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴□ABCD是菱形
∵
AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
（1）.下列命题中正确的是（
）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（
）
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
C
课堂练习：
（3）菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长
为
，面积为
。
（4）菱形ABCD的面积为96，对角线AC长
为16
，此菱形的边长为
。
5
24
10
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
D
C
B
∟
∟
E
F
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
拓展延伸(共22张PPT)
第9章
中心对称图形
9.4矩形的判定
9.4矩形的判定
上节课我们主要学习了什么内容？
温故知新
9.4矩形的判定
温故知新
1.矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.矩形的性质
四个内角都是直角
对边平行且相等
对角线相等且互相平分
既中心对称
又轴对称
边
角
对角线
对称性
矩形性质
9.4矩形的判定
1、类比平行四边形的学习你认为这节课我们会从哪几个方面继续来研究矩形？
2、你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
新知探究
9.4矩形的判定
你知道如何判定一个是矩形吗?
有一个角是直角
（定义）
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
新知探究
平行四边形
矩形
9.4矩形的判定
新知探究
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形
几何语言
9.4矩形的判定
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
新知探究
除了用定义判定矩形，你还有其他方法判定一个平行四边形是矩形吗？
9.4矩形的判定
新知探究
如图，□ABCD的两条对角线交于点O，AC=DB
□ABCD是矩形.
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
求证：
已知：
证明：
9.4矩形的判定
新知探究
判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形
已知：如图，□ABCD的两条对角线交于点O，AC=DB
求证：□ABCD是矩形.
9.4矩形的判定
新知探究
思考1：除了对角线相等，矩形还有什么特性？
思考2：一个四边形至少有几个角是直角时，成为矩形？
9.4矩形的判定
新知探究
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
思考2：一个四边形至少有几个角是直角时，成为矩形？
9.4矩形的判定
新知探究
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
∴
AD∥BC，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形
9.4矩形的判定
课堂练习
1、判断下列说法是否正确：
（1）对角线相等的四边形是矩形（
）
（2）对角线互相垂直的平行四边形是矩形（
）
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（
）
（4）三个角都相等的四边形是矩形
（
）
（5）四个角都相等的四边形是矩形
（
）
（6）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形（
）
×
×
×
9.4矩形的判定
知识运用
1、如图，在四边形ABCD中，AC与DB相交于点O，AB∥CD，AB=CD，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件
.
9.4矩形的判定
知识运用
2、如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
归纳总结：
同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？
9.4矩形的判定
9.4矩形的判定
课堂小结
归纳：如何判定一个四边形是矩形？
四边形
平行四边形
矩形
一个直角
对角线相等
三个直角
注：以后涉及矩形的判定，我们可以用这一思路来解决。
9.4矩形的判定
课后作业
1、判断下列说法是否正确：
（1）对角线相等的四边形是矩形（
）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（
）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形（
）
（4）四个角都相等的四边形是矩形（
）
（5）对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形（
）
（6）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（
）
9.4矩形的判定
课后作业
2、已知M为□
ABCD的AD边的中点，且MB＝MC.
求证：□
ABCD是矩形.
9.4矩形的判定
谢谢，祝天天进步！
9.4矩形的判定
课后作业
1、判断下列说法是否正确：
（1）对角线相等的四边形是矩形（
×
）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（
√
）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形（
×
）
（4）四个角都相等的四边形是矩形（
√
）
（5）对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形（
×
）
（6）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（
×
）
9.4矩形的判定
课后作业
2、已知M为□
ABCD的AD边的中点，且MB＝MC.
求证：□
ABCD是矩形.(共26张PPT)
9.4矩形、菱形、正方形（5）——正方形
前面的课程中，我们已经学习了矩形和菱形，下面我们对这两部分内容做一个回顾：
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
1.矩形是如何定义的？
2.菱形是如何定义的？
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
试一试：
请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
A
B
D
C
如图：四边形ABCD具备了什么特征？
同学们，
学习完上面的知识后，
我们将矩形定义、菱形定义和正方形定义放在一起，大家看看能不能有所发现？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
矩形
定理1：
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
菱形
定理2：
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
因此，平行四边形、矩形、菱形、正方形之间
关系可以用下图来表示。
想一想，大家能概况出来吗？
正方形的边、角、对角线各具有什么特征?
对边平行,
四条边都相等．
四个角都等于90°．
相等、垂直且互相平分,
每一条对角线平分一组对角．
A
B
C
D
O
边:
角:
对角线:
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
观察思考：正方形是轴对称图形吗?
如果是，有几条对称轴？
对称性：正方形是中心对称图形；同时还是轴对称图形，它有四条对称轴（两条对角线所在直线，两组对边的垂直平分线．）
例1、如图，正方形ABCD中，
（1）一条对角线把它分成
个全等的三角形。
问：这些三角形是什么三角形？
（2）两条对角线把它分成
个全等的
三角形。
2
4
等腰直角
A
B
D
C
O
小提示：上面图形中的等腰直角三角形在很多试题中都有所涉及。
等腰直角
变式1：
A
B
D
C
O
正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=
。
8√2
cm
正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一
点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF=
。
变式2：
5cm
同学们，在研究了正方形的性质后，我们再进一步来探讨如何来判定一个图形为正方形。
（
）
（
）
（
）
⑴、是矩形，添加一组邻边相等的条件
⑵、是菱形，添加有一个角是直角的条件
⑶、是平行四边形，添加有一组邻边相等且有一个角是直角的条件
在（
）里添上适当的条件
平行四边形
菱形
正方形
矩
形
（
）
（
）
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等并且有一个角是直角
正方形的判定方法
有一个角是直角
1、四边相等的四边形是正方形
（
）
2、四角相等的四边形是正方形
（
）
3、对角线互相垂直的平行四边形是正方形
（
）
4、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
（
）
5、对角线相等的菱形是正方形
（
）
6、对角线互相垂直的矩形是正方形
（
）
练习：概念辨析
×
√
×
×
√
√
例2：已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.
试说明：四边形DEBF是正方形.
分析：已有条件可先说明什么？可先说明四边形DEBF为矩形，再说明一组邻边相等
三个直角
矩形
一组邻边相等？
例2：已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵
DF⊥BC,DE⊥AB,
∴
∠DEB=
∠DFB=90°,
又∵
∠ABC=90°,
∴四边形DEBF是矩形
∵
BD平分∠ABC,
DF⊥BC
,
DE⊥AB,
∴
DE=
DF
∴四边形DEBF是正方形
变式：如图，在矩形ABCD中，四个角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，试说明四边形EFGH是正方形。
分析：可先说明四边形EFGH为矩形，再说明一组邻边相等
矩形
一组邻边相等？
如何得到三个直角？
解：∵在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴
∠E=90
°，
△BCE是等腰直角三角形，
BE=CE,
∠E=90
°
同理：∠AFB=∠EFG=90°，
∠G=90
°
∴四边形EFGH是矩形
∵AB=CD,
∠BAF=∠ABF=45°,
∠DCH=∠HDC=45°
∴△ABF≌△CDH
∴BF=CH∴EF=EH，
∴四边形EFGH是正方形．
◆正方形的性质特征
★从角上来看；
●从边上来看；
▲从对角线上来看；
■从对称性上来看.
课堂小结
对边平行,
四条边都相等．
四个角都等于90°．
相等、垂直且互相平分,
每一条对角线平分一组对角．
是中心对称图形；同时还是轴对称图形
◆正方形的判定方法
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。
定理：有一个角是直角的菱形是正方形。
在一块正方形的花坛上，欲修建两条笔直的小路，使得两条小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
拓展延伸：
方法三：过对称中心，作GE⊥HF
∵AC⊥BD
∴∠DOH=∠COG
在△DOH和△COG中：
∠HDO=∠GCO；OD=OC；∠DOH=∠COG
∴△DOH≌△COG
同理可证：△DOG≌△COF
H
A
B
C
D
O
F
E
G
