苏科版数学七年级下册 第九章 整式乘法与因式分解 复习课 课件(共35张PPT)

第九章　整式乘法和因式分解　复习课
因式分解
整式乘法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
知识框架
转化
转化
计算面积
从形到数
特殊
一般
化繁为简
１．将它们的系数相乘；
２．相同字母的幂相乘；
３．只在一个单项式中出现的字母，则连同
它的指数一起作为积的一个因式
知识回顾（整式乘法）
同底数幂的乘法
转化
单乘单
单项式与单项式相乘
一、单项式乘单项式
计算：(4ab2) ?(5b3)
解:原式＝(4×5)?（b2? b3）?a
＝ 20ab5
am ? an = am+n
1.用单项式乘多项式的每一项；
2.把所得的积相加。
二、单项式乘多项式

单项式与多项式相乘

（乘法分配律）
a(b+c+d) = ab+ac+ad
计算： a2(1- 3a)
解:原式=a2?1-a2?3a
=a2-3a3
知识回顾（整式乘法）
同底数幂的乘法
转化
单乘多
转化
单乘单
三、多项式乘多项式
１. 用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项；
２. 把所得的积相加；
计算：(x+2)(2x-3)
解:原式= x(2x-3)+2(2x-3)
=x?2x+ x?(-3)+2×2x +2×(-3)
=2x2-3x+4x-6
=2x2+x-6
知识回顾（整式乘法）
同底数幂的乘法
转化
单乘单
转化
单乘多
多乘多
转化
合并同类项
多项式与多项式相乘
转化
四、乘法公式
（1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
知识回顾（整式乘法）
(a＋b) (a－b) =a2－b2
计算：(2x+3)(2x-3)
解:原式= (2x)2-32
= 4x2-9
第一个数为相同数，第二个数为相反数
相同数的平方－相反数的平方
结果为两项
四、乘法公式
(a＋b)2=a2＋2ab +b2
(a－b)2=a2－2ab+b2
知识回顾（整式乘法）
（2）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两个数平方和加上（或减去）这两个数积的两倍.
计算:(1)(2x+3y) 2
解:原式= (2x)2+2×2x×3y+(3y)2
结果为三项
= 4x2+12xy+ 9y2
(2)(2x-3y) 2
解:原式=(2x)2-2×2x×3y+(3y)2
=4x2-12xy+ 9y2
注意符号要对应
(1) (-b+2a) 2 ( ) (2) (b+2a)(b-2a) ( )
(3) (2a+b)(b+2a) ( ) (4) (2a+b)(2b+a) ( )
(5) (-2a+b)(2a-b) ( ) (6) (-2a+b)(-b-2a) ( )
(7) (-2a+b)(a+2b) ( )
填一填：在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的请填 A,能用平方差公式计算的请填 B,不能用乘法公式计算的请填 C.
A
B
A
C
知识回顾（整式乘法）
(a＋b) (a－b) =a2－b2
(a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2
(a－b)2=a2－ 2ab + b2
A
B
C
(2a+b) 2
-(2a-b)(2a-b)=- (2a-b) 2
(-2a+b)(-2a-b)
单项式乘单项式
因式分解
乘法公式
整式乘法
单项式乘多项式
多项式乘多项式
平方差公式
完全平方公式
概念
常用方法
步骤
提公因式法
运用公式法
完全平方公式
平方差公式
知识框架
转化
转化
逆向变形
互逆变形
面积计算
从形到数
特殊
一般
逆向变形
B.
C.
D.

选择题：下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. (a+3)(a-3)=a2 -9 B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C. a2-4a-5=a(a-4)-5 D. a2-4a-5=(a-2) 2-9
知识回顾（因式分解）
1、因式分解概念
把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
B
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
（1）提公因式法：

（逆用乘法分配律）
ab+ac+ad= a(b+c+d)
1.系数取各项系数最大公约数；
2.字母取各项相同的字母；
3.指数取各项最低的.
分解因式：12x2yz - 9x3y
解:原式= 3x2y(4z-3x)
公因式
括号内项数不变
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
（2）运用公式法：

把下列各式分解因式：
（1）m2-9n2
解:原式= m2-(3n) 2
a2－b2= (a＋b) (a－b)
a2 ＋2ab+b2= (a＋b)2
a2－2ab+b2= (a－b)2
平方差公式：
完全平方公式：
逆用整式乘法公式
(a＋b) (a－b) =a2－b2
(a＋b)2=a2＋2ab + b2
(a－b)2=a2－2ab +b2
=(m+3n)(m-3n)
（2） a2b2 -2ab +1
解:原式= (ab) 2-2ab +12
= (ab-1) 2
第一个数为相同数，第二个数为相反数
两项
三项
注意符号对应
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法

分解因式：x2+6x+5
解:原式= (x+1) (x+5)
x2+(p+q) x+pq= (x+p) (x+q)
*（3）十字相乘法
1×5
1 + 5
1.二次项系数是1；
3.一次项系数是常数项分解得到的两个因数之和.
2.常数项是两个数之积；
二次三项式
知识回顾（因式分解）
2、因式分解的方法
*（4）分组分解法：

分解因式：x2-y2+ax+ay
解:原式= (x+y)(x-y)+a(x+y)

分组后可以直接提公因式或运用公式进行因式分解（三项以上）
整体
= (x+y)(x-y+a)
1、提取公因式（三步：系数、字母、指数.）
2、用公式（两项用平方差公式；三项用完全平方公式.）
3、查（检查每个因式是否还能继续分解）
知识回顾（因式分解）
3、因式分解的步骤
一提 二用 三查
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止
分解因式：3ax4-3ay4
解:原式= 3a(x4-y4)
一提
= 3a(x2+y2) (x+y) (x-y)
三查
二用
= 3a(x2+y2) (x2-y2)
整式乘法（计算）：
( 4ab2) ? (5b2)＝ 20ab3
a2(1- 3a) = a2-3a3
(x+2)(2x-3) =2x2+x-6
(2x+3)(2x-3) = 4x2-9
(2x+3y) 2= 4x2+12xy+ 9y2
知识回顾（整式乘法和因式分解的关系）
因式分解：
12xyz - 9x2 y= 3xy(4z-3x)
m2-9n2=(m+3n)(m- 3n)
a2b2 -2ab +1=(ab-1 ) 2
3ax 4-3ay4 = 3a (x2+y2) (x+y) (x-y) x2-y2+ax+ay= (m+3n)(m- 3n)
积（因式）
和（多项式）
变形
积（因式）
和（多项式）
除单项式乘单项式等于单项式外
变形
例题解析
例1：下列计算中正确的是 （ ）
(-4x) ?(2x2-3x-1)=-8x3-12x2-4x
(x+y)(x2+ y2)=x3 + y3
(-4a-1)(4a-1)=1-16a2
(x-2y) 2=x2-2xy+4 y2
C
符号错误
应该为-4xy
展开四项
例题解析
例2：计算
（1） (2x-y)(3x+y)-2x(3x- y)
（2）(a+3)(-3+a)+a(4 –a )
解:原式= (6x2+2xy-3xy-y2)-(6x2-2xy)
= 6x2+2xy-3xy-y2-6x2+2xy
= xy-y2
解:原式= (a2-9)+4a-a2
= a2-9+4a-a2
= 4a-9
多乘多、单乘多
去括号
合并同类项
平方差公式、单乘多
算理
去括号
合并同类项
算理
例题解析
例2：计算
（3）(m+2n)2(m-2n) 2
（4）[( x-y)2+(x+y)2](x2-y2)
(ab)n=anbn
解:原式=[(m+2n)(m-2n)]2
逆用积的乘方公式
=(m2-4n2) 2
平方差公式
=m4-8m2n2+16n4
完全平方公式
解:原式=[(x2-2xy+y2)+(x2+2xy+y2)](x2-y2)
完全平方公式
=(x2-2xy+y2+ x2+2xy+y2) (x2-y2)
去括号
=(2x2+2y2)(x2-y2)
括号内合并同类项
=2(x2+y2)(x2-y2)
提公因式
=2(x4-y4)
平方差公式
也可直接用多项式乘多项式运算
单乘多
=2x4-2y4
结果为和的形式
(单项式或多项式)
算理
算理
例3. 把下列各式分解因式
知识应用（因式分解）
(2) (x-1)(x-3)+1
(1) 4x(a-b)-8y(b-a)
解:原式=x2-3x-x+3+1
多乘多
=x2-4x+4
合并同类项
=(x-2)2
完全平方公式
算理
解:原式=4x (a-b)+8y(a-b)
减法法则
=4(a-b) (x+2y)
提公因式
提公因式要提干净
算理
知识应用（因式分解）
例3. 把下列各式分解因式
(3) x4-2x2+1
解:原式= ( x2-1) 2
完全平方公式
*(4) m2+7m-18
= [( x+1) ( x-1)] 2
平方差公式
= ( x+1)2 ( x-1)2
积的乘方
(ab)n=anbn
解:原式= (m-2) (m+9)
分解因式的结果为积的形式
-2 + 9
-2 × 9
算理
知识梳理
整式乘法和因式分解是既有联系又有区别的两种变形：
整式乘法
ab＋ac+ad
a(b＋c+d)
整式乘法
a2－b2
(a＋b) (a－b)
整式乘法
a2 ± 2ab+b2
(a±b) 2
因式分解
因式分解
因式分解
积
和
类型一：化简求值问题
先化简，再求值： (2x+3)(2x–3)–x(5x+4)–(x–1)2，
其中x2+x–2020=0.
知识应用
解:原式= (4x2–9)–5x2–4x–(x2–2x+1)
= 4x2–9–5x2–4x–x2+2x–1
= –2x2–2x–10
∴原式= –2x2–2x–10
= –2(x2+x)–10
由x2+x–2020=0得： x2+x=2020
如何与已知条件
x2 +x–2020=0产生
联系呢？
平方差公式
单乘多
完全平方公式
= –2×2020–10
= –4050
一个长方形的面积是60cm2,分别以它的长和宽为边长的两个正方形的面积和是136cm2,求长方形的周长.
解：设长方形的长为 a cm，宽为 b cm
则，ab=60, a2+b2=136
而(a+b)2=a2+2ab+b2
因此，a+b=16
∴长方形周长为2(a+b)=32
类型二：实际应用问题
知识应用
=136+120=256
如何求（a+b） 呢？
长×宽=60
长2+宽2=136
结果取正
2.如果|x-y+1|+(x+y -5)2=0,则x2-y2的值是 .
1.若x2 +2ax+36是完全平方式，则a= .
类型三：乘法公式的应用
知识应用
∵ 2a= ±12
∴ a= ±6
±6
∴ x2-y2
=(x+y) (x-y)
= -1×5
= -5
x-y+1=0
x+y-5=0
由题意得:
x-y= -1
x+y= 5
得
-5
类型三：乘法公式的应用
知识应用
3. 已知m、n为有理数,且m2+2m+n2 -6n+10=0,则m= , n= .
原式可化为：m2+2m+1+n2-6n+9=0
-1
3
(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0
(m+1)2+(n-3)2=0
得： m= -1；n=3
分成1和9两个完全平方数
4. 已知 a=2019x+2018，b=2019x+2019， c=2019x+2020 ，则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
D
类型三：乘法公式的应用
知识应用
由题意得：
a-b=(2019x+2018)-(2019x+2019)= -1
b-c=(2019x+2019)-(2019x+2020)= -1
a-c=(2019x+2018)-(2019x+2020)= -2
a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2ac-2bc
2
=
(a2+b2-2ab)+(a2+c2-2ac)+(b2+c2-2bc)
2
=
(a-b)2+(a-c)2+(b-c) 2
2
=
(-1)2+(-2)2+(-1) 2
2
=
1+1+4
2
=
= 3
2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
2
=
原式
(a-b)2+(a-c)2+(b-c) 2
2
=
原式
类型四：整体思想
知识应用
1. 已知 a+b=4，a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为 .
原式=[(a+1)+(b-1)] [(a+1)-(b-1)]
=(a+b)(a-b+2)
=4×(1+2)
=12
12
原式=(a2+2a+1)-(b2-2b+1)
=a2+2a+1-b2+2b-1
=a2-b2+2a+2b
=(a+b)(a-b)+2(a+b)
=4×1+2×8
=12
解法(一)：先分解因式
解法(二)：先用乘法公式展开
整体代入
先用平方差公式分解因式
先用完全平方公式展开
整体代入
（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解
的最后结果　 ；
2、请仔细阅读以下内容，然后回答问题：
下面是某同学对多项式 ( x2-4x+2) ( x2-4x+6) +4进行因式分解的过程：
解：令x2-4x+2 =y，则：
原式＝y(y+4)+4 （第一步）
＝ y2+4y+4 （第二步）
＝ (y+2)2 （第三步）
＝ (x2-4x+4)2（第四步）
类型四：整体思想
知识应用
C
(x-2)4
(x2-4x+4)2＝[(x-2)2]2=(x-2)4．
把括号中的相同部分
(x2-4x+2)看做一个整体
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　；
A．提取公因式 B．平差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
用 x2-4x+2整体替换y
转化为简单的二次三项式
转化后分解因式
整体代入
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式( x2-2x) ( x2-2x+2) +1进行因式分解．
类型四：整体思想
知识应用
＝(x2-2x+1)2
原式＝y(y+2) +1
解:设x2-2x＝y．
把x2-2x看做一个整体
＝( y+1)2
用 x2-2x整体替换y，并检查能否继续分解
＝[( x-1)2]2
＝ (x-1)4
转化为简单的二次三项式
转化后分解因式
＝y2+2y+1
整体代入
类型五：数形结合
知识应用
1. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是 .
2a(a+b)=2a2+2ab
如果看成2个正方形和2个长方形的和，
则面积为2a2+2ab.
如果看成一个长方形，则面积为2a(a+b)；
类型五：数形结合
知识应用
2. 两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如下图形，试用不同的方法计算图形的面积，你能发现什么? 请写下来 .
1
2
ab×2+
c2.
1
2
如果看成由3个直角三角形拼合而成，则面积为:
1
2
(a+b) ? ( a+b ) =
(a+b)2 ;
1
2
解:如果看成一个梯形，则面积为:
化简得:a2+b2=c2
1
2
(a+b)2 =
ab×2 +
1
2
1
2
c2
因此有:
a2+b2 =c2
c
c
a
a
b
b
1、计算下列各式，你得到什么结论？试用字母n(n为正整数)表示数说明结论的正确性 .
8×8-7×9;
11×11-10×12;
80×80-79×81.
类型六：探索性问题（归纳思想）
知识应用
=64-63=1
=121-120=1
=6400-6399=1
左边=n2- (n-1)(n+1)
解：结论为n2-(n-1)(n+1)=1
右边=1
∴等式成立
∵左边=右边
前后数字之间有什么联系？
=n2-(n2-1)
=n2-n2+1
=1
2、观察下列式子：
2×4+1＝9;
4×6+1＝25;
6×8+1＝49;
…
探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立.
类型六：探索性问题（归纳思想）
知识应用
解：两个连续偶数的积与1的和等于这两个偶数中间奇数的平方
左边：2n( 2n+2)+1 =4n2+4n+1
右边： ( 2n+1)2 =4n2+4n+1
∵左边=右边
∴等式成立
=32
=52
=72
即，第n个等式为：2n( 2n+2)+1=( 2n+1) 2
等式左右的数字有什么联系？
偶数
奇数的平方
偶数+2
课堂小结
1、学习的知识点：灵活运用整式乘法和因式分解的知识
解决相关问题

2、学习的数学思想：整体思想，数形结合，归纳思想