北师大版八年级数学下册1.1 等腰三角形专题：分类讨论题型学案（含答案）

1210310010579100《三角形的证明》题型解读2 等腰三角形专题：分类讨论题型
【方法梳理】
1.“两定一动”情形：“两圆一线”；
2.所有情形：分三边两两相等分别论证解答；
3.解题思维习惯：先分情况、再画图形、最后由易到难顺序依次解答；
【典型例题】
例1.如图，长方形OABC，O是原点，点A、C分别在坐标轴上，OA=BC=10，AB=OC=8，在OC边上取一点D，将长方形沿AD折叠，使点O落在BC边上的点E处，连接ED并延长交x轴于点F.
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求出线段OD的长和直线DE的解析式；DO=5,
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ADP为以AD为腰的等腰三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）点Q由O点出发，以每秒2个单位长度沿OD向D点运动，到达D点时运动终止，设△QDF的面积为S，设Q运动的时间为t，求出S与t的函数关系式；
解析： （1）A(10,0),B(0,8)
（2）设OD=x，由题可知CD=8-x，DE=x，在Rt△ABE中，AE=OA=10,AB=8，由勾股定理可得BE=6,则CE=4，在Rt△CDE中，由CD2+CE2=DE2可得42+(8-x)2=x2，解得x=5，即OD=5，由D（0，5）、E(4,8)可得直线DE的解析式为y=34x+5.
（3）由于题目明确AD为腰，所以只需要画“两圆”。由（2）可知AD=55,
①以A为圆心，AD为半径画圆，与x轴有两个交点P1，P2，则AP=AD=55,则OP=10±55,
∴P点坐标为（10+55，0）或（10-55，0）
②以D为圆心，AD为半径画圆，与x轴有两个交点P3，P4（P4与点A重合，舍去），
连接DP3,由AD=DP3可得O P3=OA=10,∴P3 (-10,0)
综上所述，点P的坐标为（-10，0）、（10+55，0）或（10-55，0）.
（4）由直线DE的解析式y=34x+5可得F点的坐标为（-203，0），由题可知DQ=5-2t，
∴S?QDF=12?DQ?OF=12×2035-2t=-203t+503
例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒（t>0），
(1)AC=_______cm；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形（直接写出答案）

解析：（1）由AB=5cm，BC=4cm及勾股定理可得AC=3cm；
（2）
①当P与B重合时，P恰好在∠ABC的角平分线上，t=AB÷2=52.
②过P作PD⊥AB于点D，由角平分线性质可得BD=BC=4,CP=DP,则AD=AB-BD=1，设CP=DP=x，则AP=3-x，在Rt△ADP中，由勾股定理可得x2+12=(3-x)2，解得x=43，即CP=43，则t=(AB+BC+CP)÷2=(5+4+43)÷2=316.
综上所述，若点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为43秒或316秒.
（3）①如图1，当P在AB上且AP=AC时，则AP=3,∴t=AP÷2=32.
②如图2，当P在AB上且AP=CP时，则P点在AC的垂直平分线与AB的交点上，则∠A=∠ACP，∵∠A+∠B=90°, ∠ACP+∠BCP=90°,∴BP=PC,∴BP=AP=52,∴t=AP÷2=54.
③如图3，当P在AB上且AC=CP时，作CD⊥AB于点D，则AD=DP，Rt△ABC出现数学典型模型“双垂模型”，则CD=125,在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD=95,则AP=185,∴t=AP÷2=95.
④如图4，当P在BC上且AC=CP时，则CP=3,BP=1,∴t=(AB+BP)÷2=3.
综上所述，当t等于32秒、54秒、95秒或3秒时，△ACP为等腰三角形
例3.如图1，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6,OB=10,点D为y轴上一点，坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC--CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒.
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿OP折叠，点B的对应点B`恰好落在AC边上，求点P的坐标；
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）由C(6,10),D(0,2)可得yBD=43x+2
（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，则S=6；
当点P在线段BC上时，OD=2,高为6+10-t=16-t，S=12×2×16-t=-t+16
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式是S=6 S=-t+16
②设P(m,10)，则PB=PB`=m，如图2，∵OB`=OB=10,OA=6,∴AB`=OB`2-OA2=8，∴B`C=10-8=2，∵PC=6-m，
∴22+(6-m)2=m2，解得m=103，所以此时P点的坐标为（103，10）
（3）存在，理由是：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3
①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8,在Rt△BCP1中，BP1=8,BC=6,根据勾股定理得：CP1=82-62=27,∴AP1=10-27,即P1（6，10-27）；
②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6, 根据勾股定理得：EP3=82-62=27,∴AP3=AE+EP3=2+27,即P3（6，2+27）；
综上所述，满足题意的P点坐标为（6，10-27）、（6，6）或（6，2+27）；
例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝125x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点C在坐标轴上，且△ABC是以∠ABC为顶角的等腰三角形，则点C的坐标为　　．
【分析】根据题意画出直线AB，根据勾股定理求出AB的长，再根据AB＝BC即可得出结论．
【解答】∵直线y＝125x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、点B的坐标分别为（﹣5，0）、（0，12），
∴AB＝52+122＝13．
∴C（5，0）或（0，﹣1）或（0，25）．
例5.已知，如图，∠A=90°，BC//AD，AB=6cm，点P从A出发沿射线AD运动，速度是每秒1cm，点R从点B出发沿射线BC运动，速度是每秒2cm，点Q在点P的右侧，且PQ=10cm，时间为t秒.
（1）求△PQR的面积；
（2）当t=1秒时，求PR的长；
（3）当t为何值时，△PQR是等腰三角形

解析：
（1）求△PQR的面积，先确定面积方法----公式法，再确定公式中各量的数值：底PQ=10cm，高AB=6cm，∴S?PQR=12×10×6=30cm2；
（2）求线段PR的长，首选勾股定理，先明确直角三角形，图中PR不处于直角三角形中，故作垂线构造直角三角形，所以作PM⊥BC于点M，由题可知，当t=1秒时，AP=BM=1cm，BR=2cm，则RM=BR-BM=2-1=1cm，RM=BA=6cm，在Rt△PRM中，PR=MR2+PM2=62+12=37cm；
（3）方法一：“两圆一线”（注意：线段PQ是运动的，且BP>AP）
①如图2-1，以点P为圆心，已知长PQ为半径画圆，交BC交于点R1，作R1M⊥AD于点M，（另一交点在点P的左上方，由于BP>AP，舍去），在Rt△PR1M中，∵MR1=6，PR1=PQ=10，由勾股定理可得MP=8，由题可知：AP=t，BR1=AM=2t，∴2t=t+8，∴t=8；
②如图2-2，以点Q为圆心，已知长PQ为半径画圆，交BC交于点R2、R3，如图2-2-1，作R2M⊥AD于点M，在Rt△R2MQ中，∵MR2=6，QR2=PQ=10，由勾股定理可得QM=8，∴PM=2，∴2t=t+2，∴t=2；如图2-2-2，作R3M⊥AD于点M，在Rt△R3MQ中，∵MR3=6，QR3=PQ=10，由勾股定理可得QM=8，∴PM=18，∴2t=t+18，∴t=18；
③如图2-3，作PQ的垂直平分线MR，交AD于点M，BC于点R4，∵△PQR4是等腰三角形，∴PM=MQ=5，∴2t=t+5，∴t=5；
∴综上所述，当t为2秒、5秒、8秒或12秒时，△PQR是等腰三角形.
方法二：三边两两相等分三种情形分别论证
①当PQ=PR时，解题步骤与方法一中的①相同；
②当PQ=QR时，解题步骤与方法一中的②相同；
③当PR=QR时，解题步骤与方法一中的③相同；