北师大版八年级数学下册1.2有关等腰三角形题型学案（含答案）

1165860012674600《三角形的证明》题型全解读
一、知识结构图
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29432253619522860000342900018288000137160099060
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2628900990601485900990601371600045720099060
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42291009906012573000137160016573545720082550
4229100819154572001083310137160089154014859001485900148590012680951485900990600148590059436013716003962401371600198120
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《三角形的证明》题型解读1 有关等腰三角形题型
【知识梳理】
1.主要性质
2.两个重点：①“三线合一”；②分类讨论；
【典型例题】
例1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB。图中的等腰三角形共有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
解析：△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC是等腰三角形；
266700292735例2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数是________
解析：由等腰三角形性质及三角形内角和公式及外角定理解答，可得∠C的度数是35°
例3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，BF//AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，
2105025108585其中正确的结论共有（ ）个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5751195802005解析：由“角平分线+平行线=等腰△”即BC恰好平分∠ABF，BF//AC可得△ABC是等腰三角形，AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，由等腰三角形性质“三线合一”可得AD⊥BC，BD=CD，②③正确；则由ASA易证△BDF≌△CDE，可得BF=CE，DE=DF，①正确；由AE=2BF,CE=BF可得AC=3BF，④正确；故选A
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．
若∠E=35°，则∠BAC的度数为______40°
解析：由AE//BD可得∠E=∠DBC=35°，由BD是角平分线可得∠ABC=70°=∠C，由三角形内角和公式可得∠BAC=40°.
例5.一个等腰三角形的一个角为50?，则它的顶角的度数是_______
解析：考查等腰三角形的分类讨论。
①当顶角为50?时，它的顶角的度数是50?；
②当底角为50?时，它的顶角的度数是80?；∴它的顶角的度数是50?或80?.
例6. 等腰三角形的一个外角是60°，则它顶角的度数是_________120°
①当60?是顶角的外角时，它的顶角的度数是120?；
②当50?是底角的外角时，它的一个底角的度数是120?，不符合三角形内角和公式，舍去；
∴它的顶角的度数是120?.
例7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数是20°，则顶角的度数是____110°或70°_____
解析：①当等腰三角形是锐角三角形，高为界内高时，顶角的度数是90°-20°=70°；
②当等腰三角形是钝角三角形，高为界外高时，顶角的度数是90°+20°=110°；
例8.等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长________
解析：如图分类讨论分别计算，可得底边长为8、10或310
center8382015621008191551435076200
例9.某等腰三角形两条边长分别是4和6,则它的周长是__________14、16
解析：①当底是4腰是6时，周长为16；②当底是6腰是4时，周长为14；
∴它的周长是14或16
5095875268605例10.若实数m、n满足等式|m﹣2|+n-4=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边边长，则△ABC的周长是___
6170930115570
6047105-132080
解析：由题可得m=2,n=4，由三角形三边关系可知4为腰2为底，故周长是10.
例11如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。
（1）求证：AE=AE；
（2）求证：△BFC是等腰三角形。
解析：（1）利用“∠A=∠A,∠AEC=∠ADB=90°,AB=AC”证△ABD≌△ACE可得AE=AD；
(2)由△ABD≌△ACE可得∠ABD=∠ACE,由∠ABC=∠ACB可得∠FBC=∠FCB,∴BF=CF,∴△FBC是等腰三角形
4305935289560例12.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B`的位置，AB`与CD交于点E，已知AB=8，
AD=4，请完成下列问题：
（1）求证：△ACE是等腰三角形；
（2）求重叠部分（△ACE）的面积；
（3）P为线段AC上的任意一点，试求PE+PC的最小值；
解析：
（1）数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰三角形”。由折叠可得∠EAC=∠BAC，由矩形可得DC//AB，∴∠EAC=∠BAC=∠ECA,∴△ACE是等腰三角形；
（2）勾股定理的典型解题思路：“折叠性质+方程思想+勾股定理”，设EC=x，则AE=x，DE=8-x,在Rt△ADE中，由勾股定理可得：42+(8-x)2=x2，解得x=5,∴S?AEC=12?EC?AD=12×5×4=10.
（3）数学典型题型：“将军饮马问题”，不过是最基础最简单的一类---当P、E、C成一直线时PE+PC最小。
△PEC中，由三边关系可得：PE+PC>EC，当P点在C点时，PE+PC=EC，有最小值，最小值是EC=5.
例13.如图1．△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE
和等腰Rt△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q．
（1）求证：△EPA≌△AGB：
（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2．若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由：
（4）在（3）的条件下，若BC＝10，AG＝12．请直接写出S△AEF＝　　．
【分析】
（1）根据等腰Rt△ABE的性质，求出∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∠PEA＝∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB．
（2）根据全等三角形的性质推出EP＝AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG＝FQ，最后等量代换即可得出答案．
（3）求出∠EPH＝∠FQH＝90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH与FH的大小关系．
（4）根据全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，即可求出S△AEF＝S△ABC，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】（1）如图1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，
∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，∴∠PEA＝∠BAG，
在△EPA和△AGB中，
，
∴△EPA≌△AGB（AAS），
（2）结论：EP＝FQ，
证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，∴EP＝AG，同理可得，△FQA≌△AGC，
∴AG＝FQ，∴EP＝FQ；
（3）结论：EH＝FH，
理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，∴∠EPH＝∠FQH＝90°，
在△EPH和△FQH中，
，
∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH＝FH．
（4）∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，
∴S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，
∴S△AEF＝S△EPA+S△FQA＝S△AGB+S△AGC＝S△ABC＝×BC×AG＝×10×12＝60