高中数学人教A版必修4第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义题型专题练（Word含解析）

《向量数乘运算及其几何意义》题型专题练
内容包含：平面向量的数乘运算与向量共线的判定定理
题型一：向量数乘的基本运算
1．化简下列各式：
（1）=
；
（2）=
；
（3）=
；
（4）=
.
2．化简下列各式：
（1）=
（2）=
.
3．化简下列各式：
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
.
题型二：向量共线的判定及应用
类型一：判断（证明）向量共线或三点共线；
类型二：利用向量共线求参数值
1．点在线段上，且，则______.
2．已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则　
A．点在线段上
B．点在线段的反向延长线上
C．点在线段的延长线上
D．点不在直线上
3．已知,,,则（
）
A．,,三点共线
B．,,三点共线
C．,,三点共线
D．,,三点共线
4．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
5．已知，是两个不共线的向量，若，，，求证：A，B，D三点共线；
6．设两个非零向量不共线，.
（1）求证:、、共线；（2）试确定实数，使和共线．
7．设两个非零向量与不共线．
（1）若，，，求证：，，三点共线；（2）试确定实数，使和同向．
8．已知是平面上两个不共线的向量且，，.
（1）若，方向相反，求的值；（2）若，，三点共线，求的值.
9．已知非零向量与不共线，.
（1）若，求t的值；（2）若A、B、C三点共线，求t的值.
10．设，是两个不共线向量，知，，．
（1）证明：、、三点共线；
（2）若，且、、三点共线，求的值.
11．设是两个不共线的向量，已知.
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值.
12．已知点为的重心，求证：.
13．已知、、是不共线的三点，且．
（1）若，求证：、、三点共线；
（2）若、、三点共线，求证：.
类型三：共线向量在平面几何中的应用
1．如图所示，在中，D、F分别是BC、AC的中点，，，，
（1）用、表示向量，，，，；
（2）求证：B，E，F三点共线.
2．如图所示，在平行四边形中，为的中点，为靠近的三等分点，求证:三点共线.
3．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．
4．如图，在中，，是上的一点，若，求实数的值.
5．如图，在三角形中，，分别为，的中
点，为上的点，且.
若,求实数
6．在平行四边形中，为的中点，.
（1）设用表示和；
（2）求实数的值，使得与共线.
7．如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.
(1)用向量与表示向量;(2)若,求证:C,D,E三点共线.
8．如图所示，在中，点是边上，且，点在边上，且与相交于点，设，用表示.
9．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
《向量数乘运算及其几何意义》题型专题练解析
内容包含：平面向量的数乘运算与向量共线的判定定理
题型一：向量数乘的基本运算
1．化简下列各式：
（1）=
；
（2）=
；
（3）=
；
（4）=
.
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式
.
2．化简下列各式：
（1）=
（2）=
.
【解析】（1）
.
（2）.
3．化简下列各式：
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
.
【解析】（1）；
（2）
（3）；
（4）.
题型二：向量共线的判定及应用
类型一：判断（证明）向量共线或三点共线；
类型二：利用向量共线求参数值
1．点在线段上，且，则______.
【解析】由可得三点的位置如图所示：
其中为的三等分点（靠近），所以，故答案为：.
2．已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则　
A．点在线段上
B．点在线段的反向延长线上
C．点在线段的延长线上
D．点不在直线上
【解析】，，即，
点在线段的反向延长线上，故选：．
3．已知,,,则（
）
A．,,三点共线
B．,,三点共线
C．,,三点共线
D．,,三点共线
【解析】∵，又∵和有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选：B．
4．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
【解析】因为，，，
所以，
由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得.
所以，又因为与不共线，
所以解得.
5．已知，是两个不共线的向量，若，，，求证：A，B，D三点共线；
【解析】∵，，∴，
又，∴＝2，∴∥，∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．
6．设两个非零向量不共线，.
（1）求证:、、共线；
（2）试确定实数，使和共线．
【解析】（1）又有公共点,
、、共线
（2）设存在实数使，非零向量不共线，
，.
7．设两个非零向量与不共线．
（1）若，，，求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和同向．
【解析】（1）∵，
，，
，
∴与共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线；
（2）解：若和
同向，∴存在实数，使，
即，，解得
(舍)，．
8．已知是平面上两个不共线的向量且，，.
（1）若，方向相反，求的值；
（2）若，，三点共线，求的值.
【解析】（1）由题意知，，则存在，使得，即，从而，得，又方向相反，则；
（2）由题意知，，由，，三点共线得，存在，使得，即，从而，得或.
9．已知非零向量与不共线，.
（1）若，求t的值；
（2）若A、B、C三点共线，求t的值.
【解析】（1）∵，∴，
∴，∵，∴，∴；
（2）∵A、B、C三点共线，∴存在非零实数使，
∴即，
∴，∵与不共线，∴，∴.
10．设，是两个不共线向量，知，，．
（1）证明：、、三点共线
（2）若，且、、三点共线，求的值.
【解析】（1），
与有公共点，、、三点共线
（2）解：、、三点共线，存在实数，使，
，
又不共线，，解得，．
11．设是两个不共线的向量，已知.
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值.
【解析】（1）由已知得.
.
又与有公共点，，，三点共线.
（2）由（1）可知，又，∴可设，
，即，解得.
12．已知点为的重心，求证：.
【解析】如图，设D为BC的中点，则即.
是的重心，，即.
，.
13．已知、、是不共线的三点，且．
（1）若，求证：、、三点共线；
（2）若、、三点共线，求证：.
【解析】（1）若，则，所以，
即，所以，
又与有公共点，因此，、、三点共线；
（2）、、三点共线，则存在实数，使得，即，所以，，
又，且、不共线，所以，因此，.
类型三：共线向量在平面几何中的应用
1．如图所示，在中，D、F分别是BC、AC的中点，，，
（1）用、表示向量，，，，；
（2）求证：B，E，F三点共线.
【解析】（1）如图，延长AD到G，使连接BG，CG，得到平行四边形，所以，，，，则，.
（2）由（1）可知，因为与有公共点B，所以B，E，F三点共线.
2．如图所示，在平行四边形中，为的中点，为靠近的三等分点，求证:三点共线.
【解析】在中，，∴.
∵点是的三等分点，∴.
∵①
∵为的中点，∴，
∴②
由①②可得.由共线向量定理知，
又∵与有公共点，∴三点共线.
3．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．
【解析】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，
∴
（2）∵，∴
∵，，共线，
由平面向量共线基本定理可知满足，解得．
4．如图，在中，，是上的一点，若，求实数的值.
【解析】，∴.
又，设，
则，即，
∵，不共线，∴，∴
5．如图，在三角形中，，分别为，的中
点，为上的点，且.
若,求实数
【解析】在三角形中，分别为的中点，所以，且，分别为的中点，
即＝＝2，
且，所以x＝2，y＝1
6．在平行四边形中，为的中点，.
（1）设用表示和；
（2）求实数的值，使得与共线.
【解析】（1）
；
（2），
，与共线，
存在使得，即，
又不共线，，解得.
7．如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.
(1)用向量与表示向量;(2)若,求证:C,D,E三点共线.
【解析】
(1)∵,,∴,
.
(2)证明:
，,
∴与平行,又∵与有共同点C,∴，，三点共线.
8．如图所示，在中，点是边上，且，点在边上，且与相交于点，设，用表示.
【解析】、、三点共线，存在使得，同理可设，
，
，
，，解得，
．
9．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
解析：（1）由，，三点共线，可设
，
由，，三点共线，可设
，
∴，解得，，∴.
（2）∵，，三点共线，设
，
由（1）知，，∴，，∴为定值.
2
2