北师大版九年级数学下册 第3章圆第4课时垂径定理的应用及垂径定理的推论 课件（17张）

第4课 垂径定理的应用及垂径定理的推论
一、复习垂径定理
垂径定理：
∵直径CD⊥AB，
∴________________
________________
________________.
方法总结：构造由半径、________、
________组成的直角三角形，用勾股定理求解．
常作辅助线：①连接半径；②过圆心作弦的垂线．
AE=BE
半弦
弦心距
知识点1：垂径定理的应用
1．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径
OC为5 m，则水面宽AB为(　　)
A. 4 m
B．5 m
C．6 m
D．8 m
D
2．(例1)如图，一种花边是由 组成的， 所在
圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为________．
2
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其
中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为________m.
0.2
4.(引例)如图，CD为⊙O的直径，E为弦AB(不是直径)的
中点，请问CD与AB垂直吗？
解：垂直．理由如下：连接OA，OB.
∵E为AB中点，
∴AE＝BE.
在△AOE和△BOE中，
∴△AOE≌△BOE.
∴∠AEO＝∠BEO＝90°.
∴CD⊥AB.
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的两条弧．
∵__________________________，
∴________________
________________
________________.
垂直
平分
直径CD平分弦AB（不是直径）
CD⊥AB
5.(例2)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
解：∵C为弦AB的中点,∴半径OD⊥AB
∴AC＝ AB＝ ×10＝5
连接 OA，设OA＝OD＝x
在Rt△OAC中，CO＝x－1
∵OC2＋AC2＝OA2
∴(x－1)2＋52＝x2
∴x＝13
∴⊙O半径为13
6.如图，D为 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长．
解：连接AO.
∵D为 的中点，∴OD⊥AB.
∴AC＝BC＝ AB.
∵OA＝OD＝10，CD＝4，
∴OC＝10－4＝6，
∴AC＝ ，
∴AB＝2AC＝16.
7.(例3)如图，AB为⊙O的直径，E为OB与CD的中点，CD＝4 ，
求⊙O的周长．
解：连接OC，设 OC＝OB＝x
∵E为OB中点,∴OE＝ x
∵E为CD中点
∴OE⊥CD，CE＝ CD＝2
在Rt△OCE中，OE2＋EC2＝OC2
即 ＋(2 )2＝x2
解得x＝4
∴⊙O的周长为2π·4＝8π
8.如图，∠A＝45°，C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求
⊙O的面积．
解：∵C为AB中点，
∴OC⊥AB，AC＝ AB＝1，
∵∠A＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∴AO＝ ,
∴S⊙O＝π·( )2＝2π.
三、过关检测
第1关
9．如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设
钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为
8 mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度是________．
8 mm
10．如图，D为 的中点，CD＝2，AB＝12，求⊙O
的半径．
解：设⊙O的半径为x，连接OA，
则OA＝OD＝x，OC＝x－2.
∵D为 的中点，
∴OD⊥AB，AC＝ AB＝6
∴OA2＝AC2＋OC2，
即x2＝62＋(x－2)2，解得x＝10
∴⊙O的半径为10.
第2关
11．如图，水管横截面⊙O半径为13 cm，水面宽AB＝24 cm，
求水的最大深度．
解：过O作OC⊥AB，垂足为C，
延长CO交⊙O于D，连接OB.
在Rt△OBC中，OB＝13 cm
BC＝ AB＝12 cm
∴OC＝ (cm)
∴最大深度CD＝OC＋OD＝5＋13＝18(cm)
12．如图，AC垂直平分⊙O的半径OB，垂足为P，四边形
OABC是什么特殊的四边形？证明你的结论．
解：菱形
证明如下：∵AC垂直平分OB
∴AC⊥OB，PO＝PB
∴PA＝PC
∴四边形OABC为平行四边形
∵AC⊥OB
∴ OABC为菱形
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证： .
证明：如图，过O作OE⊥AB交⊙O于E
∵AB∥A′B′
∴OE⊥A′B′
∴
∵OE⊥AB
∴
∴
∴
14．如图，⊙O直径AB＝4，E为OB中点，∠OED＝30°，求
弦CD的长．
解：如图，过O作OF⊥CD， 连接OD，
∵E为OB中点，OB＝2 ,∴OE＝1
∵∠OED＝30°
∴OF＝ OE＝
在Rt△ODF中
DF＝
∵OF⊥CD,∴CD＝2DF＝