北师大版数学八年级下册　1.1.1等腰三角形课件（29张）

1.1等腰三角形
复习回顾

什么样的三角形叫做等腰三角形？
（有两边相等的三角形）
预习展示

（1）把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来.
（2）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C.
（3）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD.
观察后你发现了什么现象？
B
A
C
D
A
B
C
D
结论

1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠ B =∠ C
3、BD = CD ，AD 为底边上的中线
4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高
5、∠BAD = ∠CAD ，AD为顶角平分线
问题1、结论2用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
问题2、结论3、4、5用一句话可以归纳为什么？
C
A
B
D
性质定理

等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）.
C
A
B
几何书写：
∵AB=AC（已知）
∴?B=?C（等边对角）
推论

等腰三角形 顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 互相重合.（三线合一）
几何书写：
∵AB=AC （已知）
∠1=∠2 （已知）
∴AD⊥BC BD=CD（等腰三角形三线合一）
D
C
A
B
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
议一议P2
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
1
2
A
C
B
D
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
回顾与思考
?
与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.
回顾与思考
判断公理:
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
A
B
C
A′
B′
C′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
　 BC=B′C′
　 AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
回顾与思考
判断公理:
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
　 ∠A=∠A′
　 BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
回顾与思考
判断公理:
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′
　 AB=A′B′ 　　　
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
回顾与思考
性质公理:
全等三角形的对应边、对应角相等.
∵ △ABC≌△A′B′C′
∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′
（全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
●
●
● ●
● ●
A
B
C
A′
B′
C′
● ● ●
● ● ●
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等.
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
证明:
∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）,
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证:△ABC≌△A′B′C′.
几何的三种语言
回顾与思考
推论:
两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
在△ABC与△A′B′C′中
∵∠A=∠A′
　∠C=∠C′
　AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
证明后的结论,以后可以直接运用.
证明等腰三角形的性质

证明：等腰三角形的两个底角相等
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：
作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
∠ BAD= ∠ CAD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
B
C
D
作顶角的平分线
证明等腰三角形的性质

证明：等腰三角形的两个底角相等
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边中线AD.

在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
B
C
D
作底边中线
证明等腰三角形的性质

证明：等腰三角形的两个底角相等
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD.
在Rt△BAD和△RtCAD中，
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) ,
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
B
C
D
作底边的高线
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).
A
C
B
D
1
2
做一做P3
3
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上
的中线，又是底边上的高。
应用格式：∵AB＝AC ∠1＝∠2（已知）
∴BD＝DC AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是
顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC BD＝DC （已知）
∴AD⊥BC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
3、等腰三角形的底边上的高，既是底
边上的中线，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC AD⊥BC （已知）
∴BD＝DC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
C
B
D
1
2
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高
练习

1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=80。求∠C和∠B的度数．
解:
结论:
在等腰三角形中，已知一个角，可以求另外两个角.
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B( 等边对等角)
∵ ∠A+∠B +∠C=180。（三角形内角和等于180。）
∠A=80。
∴ ∠B=∠C=50。
练习

2、已知△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
A
B
C
D
解： ∵ AB=AC，（已知）
∴ ∠ABC=∠C (等边对等角)
∵ BD=BC=AD， （已知）
∴ ∠C=∠BDC (等边对等角)
∠A=∠ABD
设∠A=x°，则∠ABD= x°，
∠BDC=2 x°， ∠C=2 x°,
X°
X°
2X°
2X°
根据题意得：x+2x+2x=180
x=36
即∠A=36°∠ABC =∠ACB=72°
练习
3、已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量.
C
B
D
A
1
2
∠B=∠C
∠1=∠2
∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD
练习
4、填空：在△ABC中，AB＝AC， D 在BC上，
（1）如果AD⊥BC，那么∠BAD = ∠______，
BD = ______.
（2）如果∠BAD= ∠CAD，那么AD⊥___， BD = ___.
（3）如果BD=CD，那么∠BAD =∠ _____， AD⊥___，
∠ADB =∠ _____=___°
D
CAD
CD
BC
CD
CAD
BC
ADC
90
练习
5、在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？
C
B
D
A
1
2
∵ AB=AC ,AD ⊥BC（已知）
∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）
即（等腰三角形三线合一）
∵BD=2cm（已知）
∴CD=2cm
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
定理：等边对等角
推论：“三线合一”
常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数．
研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线．
等 腰 三 角 形
课后思考
　　 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三
角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系
重物的绳子正好经过三角板底边中点，就
说房梁是水平
的，你知道其中
反映了什么数学
原理?
感谢您的聆听