人教版八年级上册12.3角的平分线的性质(第二课时)课件（34张）

角的平分线的性质（第二课时）
回顾 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
书写：
∵∠AOP = ∠BOP
（OP平分∠AOB），
PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E，
∴PD = PE．
分析：标图
1 ．已知可推？“角分双垂推相等”
由角的平分线的性质得 DE = DF ．
2．求证何来？“全等推相等”
例 如图，△ABC中，AD 是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：EB = FC．
分析：标图
1 ．已知可推？“角分双垂推相等”
由角的平分线的性质得 DE = DF ．
2．求证何来？“全等推相等”
例 如图，△ABC中，AD 是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：EB = FC．
分析：标图
1 ．已知可推？“角分双垂推相等”
由角的平分线的性质得 DE = DF ．
2．求证何来？“全等推相等”
由 Rt△BDE ≌ Rt△CDF 得 EB = FC．
例 如图，△ABC中，AD 是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：EB = FC．
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
?
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ．
∴EB = FC．
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF（角的平分线的性质）．
识别定理及对应基本图
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
分析：
已知可推？“角分无双垂”
求证何来？“距离需作垂”
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
分析：
已知可推？“角分无双垂”
求证何来？“距离需作垂”
考虑“作双垂”．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
分析：
已知可推？“角分无双垂”
求证何来？“距离需作垂”
考虑“作双垂”．
注意：两组“角分待双垂”．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
分析：
已知可推？“角分无双垂”
求证何来？“距离需作垂”
考虑“作双垂”．
注意：两组“角分待双垂”．
证明：过点P作PD， PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足分别为D，E，F．
证明：过点P作PD， PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴ PD = PE ．
证明：过点P作PD， PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴ PD = PE ．
同理 PE = PF．
∴PD = PE = PF．即点P到三
边AB,BC,CA的距离相等．
证明：过点P作PD， PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴ PD = PE ．
同理 PE = PF．
∴PD = PE = PF．即点P到三
边AB,BC,CA的距离相等．
复原基本图
练习 如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
“角分无双垂”
“距离需作垂”

练习 如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
“角分无双垂”
“距离需作垂”
想“作双垂”
两组
证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，
CA，垂足分别为F， G，H．
∵BD为∠ABC外角的平分线，
点P在BD上， ∴PF = PG．
同理 PG = PH．
∴PF = PG = PH．
即点P到三边AB，BC，CA所
在的直线的距离相等．
类比的想法
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB，
交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线
于点F．求证：DE = DF．
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB，
交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线
于点F．求证：DE = DF．
分析：标图
1 ．已知可推？
“全等待条件”“双垂待角分”
考虑连接AD
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB，
交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线
于点F．求证：DE = DF．
分析：标图
1 ．已知可推？
“全等待条件”“双垂待角分”
2 ．求证何来？
“角分双垂推相等”更好
“全等推相等”
考虑连接AD
例 已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB，
交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线
于点F．求证：DE = DF．
整理思路：
连接AD，证明△ABD ≌ △ACD
由全等证角等
“角分双垂推相等”
证明：连接AD．
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD ≌ △ACD（SSS） ．
∴∠BAD = ∠CAD，
即AD是∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF．
复原基本图
作公共部分
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，
OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
　 　，并证明你的结论．
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，
OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
　 　，并证明你的结论．
分析：标图
1 ．已知可推？“角分无垂直”，
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，
OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
　 　，并证明你的结论．
分析：标图
1 ．已知可推？“角分无垂直”，
考虑“作双垂”．

练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
　 　，并证明你的结论．
∠PEO
分析：标图
1 ．已知可推？“角分无垂直”，
考虑“作双垂”．
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ；
求证何来？构造的全等．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
在Rt△PDF与Rt△PEH中，
?
∴Rt△PDF ≌ Rt△PEH （HL） ．
∴∠PDF＝∠PEH.
∴∠PDA = ∠PEO．
小结
在我们运用角的平分线的性质处理问题时：
1．熟悉定理及其对应的基本图；
2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线
是:补全基本图；
如:过角平分线上的点向角两边作垂线；
3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定
理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．
求证：S△ABD：S△ACD = AB：AC．
作业
作业
2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC，
点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别
是M、N．求证：PM = PN．
同学们，再见！
例 如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找
一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，
并写出画法）
分析：
PC即点P到边BC，
①点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等；
②点P在AC上．
例 如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找
一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，
并写出画法）
作法：作∠ABC的平分线，
交AC于点P．则点P为所求．
例 如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找
一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，
并写出画法）
作法：作∠ABC的平分线，
交AC于点P．则点P为所求．
证明：作PH⊥AB于H．
∵∠C = 90°，∴PC⊥AC．
∴PC = PH．