人教版八年级上册12.3角的平分线的性质(第三课时)课件（24张）

角的平分线的性质（第三课时）
回顾 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
题设：一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
交换题设和结论，你能得到什么新命题？这个新命题正确吗？
来看具体问题．
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）．
分析：求证何来？
“全等推角等”
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°．
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
?
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．
∴ ∠POD = ∠POE．即点P
在∠AOB的平分线上．
证明：
新的定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上．（定理2）
留一个思考问题：
为什么会有“角的内部”这个前提？
没有的话会怎样？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上．（定理2）
使用这个定理时这样书写：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点P在∠AOB的平分线上．
“双垂等距推角分”
例 如图所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN于N，
AM = AN，求证：∠BAM = ∠BAN.
分析：标图．
如果用全等是可以证明的，
可以简单试一试．
“双垂等距推角分”
由定理2得∠ABM = ∠ABN．
∵AM⊥BM，AN⊥BN，AM = AN，
∴点B在∠MBN的平分线上，
即∠ABM = ∠ABN．
（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
∴∠BAM = ∠BAN
（等角的余角相等）．
积累不同证明方法．
证明：
分析：标图
已知可推？
“双垂等距推角分” ，可得AD平分∠BAC．
再由∠BAC得∠BAD，
最后在△ ADB求角．
例 如图，在△ABC中，∠C = 36?，∠ABC = 110?，且DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，DE = DF．求∠ADB的度数．
∵∠C = 36?，∠ABC = 110?，
∴∠BAC = 180?﹣36?﹣110? = 34? ．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC 于
F，DE = DF，
∴AD平分∠BAC ．
∴∠BAD = 17? ．
∴∠ADB = 180?﹣110?﹣17?
= 53?．
解：
基本图不变
例 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB = OC，连AO，求证：∠1 = ∠2．
分析：标图
已知可推？
△ODB≌△OEC
求证何来？
全等？定理2更好
需要OD = OE
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO = ∠CEO = 90°．
?在△ODB和△OEC中
∴△ODB≌△OEC．
∴OD = OE．
又OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点O在∠BOC的平分
线上，即∠1 = ∠2．
证明：
例 如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，BE = CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
分析：标图
已知可推？
直接用面积要找底高
考虑作垂直
面积和一边等，则高等
“双垂等距推角分”
求证何来？
例 BE = CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵△DBE和△DCF的面积相等，
∴ BE?DM = CF?DN．
又∵BE = CF，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC
∴DM = DN．
辅助线不变
分析：标图
已知可推？邻补角好找180?
可以转换为等角的条件
求证何来？
“双垂等距推角分”
作双垂，欠等距，
全等推
例 如图，OP为∠AOB内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO = 180?，PC = PD．求证：OP平分∠AOB．
例 如图，OP为∠AOB内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO = 180?，PC = PD．求证：OP平分∠AOB．
整理一下思路：
1．作双垂
2．由180?找等角，供全等用
3．证明两三角形全等
4．得距离等，配双垂证角等
证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB．
则∠PMC = ∠PND = 90? ．
∵∠PCO+∠PDO = 180?，∠PCO+∠PCM = 180? ，
∴∠PCM = ∠PDN．
在△PMC与△PND中
∴△PMC≌△PND．
∴PM = PN．
又∵PM⊥OA，
PN⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
3 新的关注
两个定理的异同（基本图，辅助线相同）．
今天研究的内容
2 新的应用
“双垂等距推角分” ．
1 新的定理
角的内部到角的两边的距离相等的点在
角的平分线上．
1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以
作出一个角的平分线．如图：一把直尺
压住射线OB，另一把直尺压住射线OA
并且与第一把直尺交于点P，小明说：
“射线OP就是∠BOA的角平分线．”
他这样做的依据是（　　）．
作业
1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，A．角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的
距离相等
C．三角形三条角平分线的交点
到三条边的距离相等
D．以上均不正确
作业
作业
2．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且
BE = CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
同学们，再见！
练习 如图，BE = CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB = DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
分析：标图
已知可推？
全等较明显
求证何来？
定理2更好
需要DE = DF
∵DE⊥AB延长线于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED = ∠CFD = 90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
?
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
∴DE = DF．
∴AD是∠BAC的平分线．
证明：
①
又∵①