人教版八年级上册12.3角的平分线的性质的综合运用课件（27张）

角的平分线的性质的综合运用
复习 两个定理
1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
2．角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上．
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上．
回顾 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
思路：过点P分别向三角形
各边作垂直，标垂足．
由角的平分线的性质得
PD = PE 及 PE = PF．
进而PD = PE = PF．
于是问题得证．
追问 点P在∠BAC的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
这说明：三角形的三条角平分线交于一点．
分析：“双垂距离推角分”
略证：（用已证结论）
∵PD = PE = PF（已证），
又PD⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
思路：过点P分别向三角形
各边作垂直，标垂足．
由角的平分线的性质得
PF = PG 及 PG = PH．
进而PF = PG = PH．得证．
类比的想法
类比 如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．（1）求证：
点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．
类比 （2）点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的相邻两个外角的平分线与第三个内角的平分线有什么关系？
这说明：三角形的相邻两个外角的平分线与第三个角的角平分线交于一点．
分析：“双垂距离推角分”
略证：（用已证结论）
∵PF = PG = PH（已证），
又PF⊥AB，PH⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
分析：
可以从定理1入手
也可以从定理2入手
总之找角平分线交点
已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三角形三边都相等．
作图：
分别作∠BAC和∠ABC的平分线，
两线交于点O，
则点O即为所求．
课下可以试试证明．
发展 已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形三边都相等．
分析：
（1）根据之前的研究，在三角形内部，两条角平分线的交点符合要求；
（2）在三角形的外部呢？
有相邻两外角的平分线的交点，符合要求吗？
作法：如图
（1）作△ABC两内角的平分线，其交点为O1；
（2）分别作△ABC两外角平分线，其交点分别为
O2，O3，O4．
则O1，O2，O3，O4即为所求．
作法：如图
（1）作△ABC两内角的平分线，其交点为O1；
（2）分别作△ABC两外角平分线，其交点分别为
O2，O3，O4．
到角两边距离相等的点在三角形内角的平分线或者在外角的平分线上．
回答之前的问题：
不加“角的内部” 定理2是不对的．
还有其他点符合要求
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
分析：标图
1．“点到角两边的距离相等”
当已知，想定理2
当求证，想定理1
2．平行线用以转换角的位置
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
整理思路：
处理这个问题分3步走：
先用定理2证等角
再用平行关系换角的位置
最后用定理1再证距离相等
∵点D到PE和PF的距离相等，
∴PD是∠EPF的平分线（定理2）．
∴∠1 = ∠2．
注意鉴别易混定理．
∵PE∥AB，∴∠1 = ∠3．
同理，∠2 = ∠4．
∴∠3 = ∠4．
∴△ABC中，AD平分∠BAC．
∴点D到AB和AC的距离相等．
证明：
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
分析：标图
已知可推？
“角分双垂推相等”得PD = PE
△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
△ODP≌△OEP
△ODF≌△OEF
可能来自全等
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
整理思路：
1．“角分双垂推相等”得PD = PE
2．△ODP≌△OEP
3．△ODF≌△OEF
需要OD = OE，∠DOF = ∠EOF
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠DOP = ∠EOP ．
又PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD = PE．
在Rt△ODP与Rt△OEP中
可按板块书“扩写”
∴Rt△ODP≌Rt△OEP．
∴OD = OE．
在△ODF与△OEF中
∴△ODF≌△OEF．
∴DF = EF．
证明：
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
分析：标图
已知可推？
“角分双垂推相等”得PD = PE
△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
△PDF≌△PEF
△PDF≌△PEF
可能来自全等
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
思路调整：少用一次全等
1．“角分双垂推相等”得PD = PE
2．外角∠OPD＝∠OPE
3．△PDF≌△PEF
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP = ∠OEP = 90?．
又点P在∠AOB平分线上，
∴∠DOP = ∠EOP，
PD = PE．
会-对-好
∵∠DPF = ∠ODP+∠DOP，
∠EPF = ∠OEP+∠EOP，
∴∠DPF = ∠EPF．
在△PDF≌△PEF中
∴△PDF≌△PEF．
∴DF = EF．
证明：
小结
1．我们在这阶段学习了两个定理，需注意区分它们的条件和结论，以免发生混淆．
2．有些几何问题的解决需要添加辅助线，目前常见的辅助线以补全基本图为主．
3．一般的分析方法：已知可推什么？求证从哪里来？找常见基本图与基本说法等．可以先思考核心步骤再展开写以免干扰思路．
4．有时候解决问题的方法不止一种，步骤难度可能差不多也可能有优劣．
希望大家多尝试，多比较，多思考，多积累，逐步做到会-对-好．
小结
1．如图，△ABC的角平分线AP和外角平分线BP相交于点P，求证：点P也在∠BCD的平分线上．
作业
作业
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．
同学们，再见！