人教版八年级上册13.3等腰三角形的综合运用(第二课时)课件（20张）

等腰三角形的综合运用（第二课时）
利用等腰三角形的判定和性质:
(1)判断三角形形状;
(2)计算三角形边长及角度;
(3)证明几何图形中线段相等.
知识运用
例 如图,在△ABC中, AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,
∠BAD=∠CBE.
求证: AB=AC.
分析：
AD⊥BC
∠ADC=90°
BE⊥AC
∠BEC=90°
∠BAD=∠CBE
AB=AC
∠ABC=∠C
要证：
∵AD⊥BC,BE⊥AC ,
∴∠ADC=∠BEC=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°,
∠C+∠CBE=90°.
∵∠BAD=∠CBE,
∴∠ABD=∠C .
∴AB=AC.
证明：
证明两条线段相等，当这两条线段是同一个三角形的边时,一般我们先证明这两条线段所对的角相等,然后根据等腰三角形的判定方法“等角对等边”,即可证明这两条线段相等.
当题目条件中直角比较多时，一般用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等.
例 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,ME垂直平分AB于点E,交BC于点M,NF垂直平分AC于点F,交BC于点N.
求证:BM=MN=CN.
AB=AC
∠A=120°
?
?
?
∠B=∠C=30°
BM=AM,
CN=AN
ME垂直平分AB,
NF垂直平分AC
?
?
∠BAM=30°
∠NAC=30°
∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°
BM=MN=CN
AM=MN=AN
△AMN为等边三角形
120°
30°
30°
30°
30°
证明：连接MA和AN.
∵ 在△ABC中, AB=AC,∠A=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵ME垂直平分AB,NF垂直平分AC,
∴BM=AM,CN=AN.
∴ ∠BAM=∠B=30°,
∠NAC=∠C=30°.
、
120°
30°
30°
30°
30°
证明: ∴∠AMN=∠B+∠BAM=60°,
∠ANM=∠C+∠NAC=60°.
∴∠MAN=180°-∠AMN -∠ANM=60°.
∴△AMN为等边三角形.
∴AM=MN=AN.
∵BM=AM,CN=AN,
∴BM=MN=CN.

、
120°
30°
30°
30°
30°
一般地，当题目中出现垂直平分线时，我们会经常使用垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等”，来证明线段的相等，或结合等腰（边）三角形边角关系进行线段转化，来证明目标线段相等.
例 如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,
求证：BD=CE

、
分析：
AB=AC
AD=AE
BD=CE
要证：
△ABD ≌△ACE
∠BAD=∠CAE
∠B=∠C
∠ADE=∠AED
证明：
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED.
∴∠ADE -∠B=∠AED -∠C.
即∠BAD=∠CAE.
证明：
在△ABD和△ACE中,
AB=AC ,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE.
∴△ABD ≌ △ACE (SAS).
∴BD=CE.
利用全等三角形是证明线段相等的一个很好方法,往往我们在等腰三角形中，会利用特有的边角关系来构造全等三角形.
等腰三角形
边角关系
构造全等三角形
线段相等
其他解法：如果过点A做AO⊥BC于点O
O
AB=AC
BO=CO
AD=AE
DO=EO
BO -DO=CO -EO
BD=CE
？
？
AO 三线合一
课堂小结
证明线段相等的常见方法：
(1)利用等腰三角形的性质和判定证明线段相等；
(2)利用垂直平分线的性质和判定证明线段相等；
(3)利用全等三角形的性质证明线段相等.
课后作业
1. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB//CD，OA=OB，
求证：OC=OD.
2.如图，在等边三角形△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB和OC的垂直平分线EE'和FF'分别交BC于点E和F,连接OE，OF.
证明：AB=3EF.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E和F.
(1) 求证：△ABD是等边三角形；
(2) 求证：BE=AF.
同学们，再见！