1.2充分条件与必要条件
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(共28张PPT)
知识回顾：
1.四种命题的概念
2.四种命题的关系
一般地，设“若p，则q”为原命题，则：
“若q，则p”为逆命题;
“若﹁ p ，则﹁ q”为否命题;
“若﹁ q ，则﹁ p ”为逆否命题。
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？
【实例引入】
命题： 若x＞0，则x2＞0。
若p 则q
若为真命题则记为p q
＞
若为假命题则记为 p q
＞
一般的：p q表示“若p则q”是真命题，否则表示假命题。
例：
真
假
下列命题用推断符号分别怎样表示？
⑴若a＞b，则ac＞bc；
⑵若a＞b，则a＋c＞b＋c；
⑶若x≥0，则x2≥0；
⑷若x＞1，则x＞0．
（a＞b ac＞bc）
（a＞b a＋c＞b＋c）
（x≥0 x2≥0）
（x＞1 x＞0）
概念辨析
课本10页 练习 1
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
两三角形全等 两三角形面积相等
例如：
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.
【典例演练】
练习1：
(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
(2) 若x > 5，则x > 10。
解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
所以命题（1）中的p是q的充分条件。
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1) 若x=y，则x2=y2。
(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.
(3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
课本10页 练习 2,3
课本10页 练习 4
能 力 测 试
用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形
为正方形”的______条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的______条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的________条件。
充分
必要
充分
充分
请判断下面各组命题中p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件
(1)p:x是6的倍数, q:x是2的倍数
(2) p:x既是2的倍数也是3的倍数, q:x是6的倍数
(3) p:x是4的倍数, q:x是6的倍数
“小范围”是“大范围”的充分条件
从逻辑关系看:
充分非必要条件
必要非充分条件
1）p q且q p，则p是q的
2）若p q且q p，则p是q的
3）若p q且q p，则p是q的
既不充分也不必要条件
充分且必要条件
4）p q且q p，则p是q的
定义:
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件
(也可以说成”p与q等价”)
充要条件：同一事物
B
A
1 )
A
B
2 )
A
B
3 )
A = B
4 )
从集合角度看
则称p是q的既不充分也不必要条件
课本12页 练习 1,2
课本12页A组 2,3
例4.已知:圆O的半径r,圆心O到直线L的距离为d,求证:d=r是直线L与圆O相切的充要条件
需分别证明（１）充分性（p q）； ? （２）必要性（q p）
证明：
如图，作OP l于点P，则OP＝d．
设p:d=r, q:直线L与圆O相切
分析:
l
Q
P
0
┐
d
(1)充分性（p q）:
若d=r,则点P在圆O上。在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ。在RtΔOPQ中, OQ>OP=r。所以,除点P外,直线l 上的点都在圆O的外部。即直线l 与圆O仅有一个公共点P。因此,直线l 与圆O相切。
(2)必要性（q p）
若直线L与圆O相切,不妨设切点为P,则OP L.因此,d=OP=r。
故d=r是直线L与圆O相切的充要条件。
l
Q
P
0
┐
d
l
Q
P
0
┐
d
课本13页B组 2
探究1:若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的什么条件？
﹁p是﹁q的必要条件.
探究2:若p是q的必要条件，则﹁p是﹁q的什么条件？
﹁p是﹁q的充分条件.
新知探究
探究3:若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？
新知探究
如果p不是q的充分条件，则q也不是p
的必要条件.
充分条件与必要条件是共存的
若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是D的充分条件，E是A的充要条件，
则E是B的＿＿＿＿＿＿＿条件，
C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿条件，
A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿条件，
D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
A B
C
D
E
E B
C A
A D
C D
充要条件
充分不必要
充要条件
必要不充分
①r是q的充要条件；
②p是q的充分不必要条件； ③r是q的必要不充分条件；
④┐p是┑s的必要不充分条件；
⑤r是s的充分不必要条件. 则正确命题的序号是（ ）
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤
用逻辑运算来判断
r
s
q
p
知识回顾：
1.四种命题的概念
2.四种命题的关系
一般地，设“若p，则q”为原命题，则：
“若q，则p”为逆命题;
“若﹁ p ，则﹁ q”为否命题;
“若﹁ q ，则﹁ p ”为逆否命题。
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？
【实例引入】
命题： 若x＞0，则x2＞0。
若p 则q
若为真命题则记为p q
＞
若为假命题则记为 p q
＞
一般的：p q表示“若p则q”是真命题，否则表示假命题。
例：
真
假
下列命题用推断符号分别怎样表示？
⑴若a＞b，则ac＞bc；
⑵若a＞b，则a＋c＞b＋c；
⑶若x≥0，则x2≥0；
⑷若x＞1，则x＞0．
（a＞b ac＞bc）
（a＞b a＋c＞b＋c）
（x≥0 x2≥0）
（x＞1 x＞0）
概念辨析
课本10页 练习 1
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
两三角形全等 两三角形面积相等
例如：
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.
【典例演练】
练习1：
(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
(2) 若x > 5，则x > 10。
解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
所以命题（1）中的p是q的充分条件。
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1) 若x=y，则x2=y2。
(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.
(3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
课本10页 练习 2,3
课本10页 练习 4
能 力 测 试
用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0
为正方形”的______条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的______条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的________条件。
充分
必要
充分
充分
请判断下面各组命题中p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件
(1)p:x是6的倍数, q:x是2的倍数
(2) p:x既是2的倍数也是3的倍数, q:x是6的倍数
(3) p:x是4的倍数, q:x是6的倍数
“小范围”是“大范围”的充分条件
从逻辑关系看:
充分非必要条件
必要非充分条件
1）p q且q p，则p是q的
2）若p q且q p，则p是q的
3）若p q且q p，则p是q的
既不充分也不必要条件
充分且必要条件
4）p q且q p，则p是q的
定义:
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件
p与q互为充要条件
(也可以说成”p与q等价”)
充要条件：同一事物
B
A
1 )
A
B
2 )
A
B
3 )
A = B
4 )
从集合角度看
则称p是q的既不充分也不必要条件
课本12页 练习 1,2
课本12页A组 2,3
例4.已知:圆O的半径r,圆心O到直线L的距离为d,求证:d=r是直线L与圆O相切的充要条件
需分别证明（１）充分性（p q）； ? （２）必要性（q p）
证明：
如图，作OP l于点P，则OP＝d．
设p:d=r, q:直线L与圆O相切
分析:
l
Q
P
0
┐
d
(1)充分性（p q）:
若d=r,则点P在圆O上。在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ。在RtΔOPQ中, OQ>OP=r。所以,除点P外,直线l 上的点都在圆O的外部。即直线l 与圆O仅有一个公共点P。因此,直线l 与圆O相切。
(2)必要性（q p）
若直线L与圆O相切,不妨设切点为P,则OP L.因此,d=OP=r。
故d=r是直线L与圆O相切的充要条件。
l
Q
P
0
┐
d
l
Q
P
0
┐
d
课本13页B组 2
探究1:若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的什么条件？
﹁p是﹁q的必要条件.
探究2:若p是q的必要条件，则﹁p是﹁q的什么条件？
﹁p是﹁q的充分条件.
新知探究
探究3:若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？
新知探究
如果p不是q的充分条件，则q也不是p
的必要条件.
充分条件与必要条件是共存的
若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是D的充分条件，E是A的充要条件，
则E是B的＿＿＿＿＿＿＿条件，
C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿条件，
A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿条件，
D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
A B
C
D
E
E B
C A
A D
C D
充要条件
充分不必要
充要条件
必要不充分
①r是q的充要条件；
②p是q的充分不必要条件； ③r是q的必要不充分条件；
④┐p是┑s的必要不充分条件；
⑤r是s的充分不必要条件. 则正确命题的序号是（ ）
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤
用逻辑运算来判断
r
s
q
p