全称量词与存在量词

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　全称量词与存在量词
思考：什么是量词？
①一 纸；
②一 牛；
③一 狗；
④一 马；
⑤一 人家；
⑥一 小船
表示人、事物或动作的单位的词称为量词
下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；
1.4.1 全　称　量　词　
全称量词
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)x>3
(2)2x+1是整数
(3)对所有的x R,x>3
(4)对任意一个x Z,2x+1是整数
是
是
不是
不是
(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定;
关系:
(3)(4)
全称命题
(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.
一.全称命题
1. 全称量词及表示:
短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
定义：
表示：
用符号“ ”表示
2. 全称命题及表示:
定义：
含有全称量词的命题，叫全称命题。
表示：
全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
下列命题中哪些是全称命题？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；
(2)所有的正方形都是矩形
都是全称命题。
例如:命题(1)对任意的n Z,2n+1是奇数;
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸多边形的外角和等于2
例1.用量词“ ”表达下列命题:
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数
x R,x能写成小数形式
x {x|x是凸n边形},x的外角和等于2
x R,x·(-1)= -x
(4)对任意实数x,都有x3>x2
x R,x3>x2
(5)对任意角 ,都有sin2 +cos2 =1
{角},
sin2 +cos2 =1
例2.设集合S={四边形},P(x):内角和为3600 .试用不同表述写出全称命题“ ”
X S,P(x)
解:
对所有的四边形x,x的内角和为360o
对一切四边形x,x的内角和为360o
每一个四边形x的内角和为360o
任一个四边形x的内角和为360o
凡是四边形x,它的内角和为360o
例3.判断下列全称命题的真假
(1) 所有的素数是奇数;
(2) x R, x2+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
解:
(1)∵2是素数,但不是奇数.
∴全称命题(1)是假命题
(2)∵ x R,x2≥0,从而x2+1≥1
∴全称命题(2)是真命题
(3)∵ 是无理数,但( )2=2是有理数
∴全称命题(3)是假命题
如何判断全称命题的真假
方法:
若判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。
课本 23页 练习 1
1.4.2 存 在 量 词
存在量词
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
不是
不是
是
是
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
关系:
(3)(4)
特称命题
短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x).
一.特称命题
1. 存在量词及表示:
定义:
用符号“ ”表示,
含有存在量词的命题,叫做特称命题.
表示：
2.特称命题及表示：
定义:
表示：
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
下列命题中哪些是特称命题？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；
例如:命题（1）有的平行四边形是菱形; ? （2）有一个素数不是奇数
都是特称命题.
例4 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题“ x∈R,q(x)”
解:
存在实数x,使x2=x成立
至少有一个x∈R,使x2=x成立
对有些实数x,使x2=x成立
有一个x∈R,使x2=x成立
对某个x∈R,使x2=x成立
例5 下列语句是不是全称或特称命题
(1) 有一个实数a,a不能取对数
(2) 所有不等式的解集A,都是A R
(3) 三角函数都是周期函数吗
(4) 有的向量方向不定
特称命题
全称命题
不是命题
特称命题
例6 判断下列特称命题的真假:
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;
(3)有些整数只有两个正因数.
(1)由于 x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.
解:
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.
所以,特称命题(1)是假命题.
所以,特称命题(2)是假命题.
例3 判断下列特称命题的真假:
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;
(3)有些整数只有两个正因数.
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题(3)是真命题.
要判断特称命题“ x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
如何判断特称命题的真假
方法:
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.
课本 23页 练习 2
自我检测：
下列说法正确吗？
对 反之则不成立．
正确