华东师大版九年级下册第27章《圆》高分突破压轴专练（四）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级下册第27章《圆》高分突破压轴专练（四）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 215.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-12 18:51:37 | ||
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文档简介
华东师大版九下第27章《圆》
高分突破压轴专练（四）
1．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC的中点D，DE与⊙O相切，且交BC于E．若⊙O的直径为5，AC＝8．求DE的长．
2．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．
3．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；
（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．
4．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：DC2＝CE?AC；
（2）若AE＝2EC，求之值；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝9，求EC之长．
5．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是
．
6．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）若∠BAC＝70°，求弧BD、弧DF和弧AF的度数．
7．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①②?③，①③?②，②③?①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
8．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，，求AB的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．
（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DB＝DE；
（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分线BF交AE于点F，求证：BE＝EF．
参考答案
1．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵D点为AC的中点，
∴BA＝BC，AD＝CD＝AC＝4，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE，
∴BC⊥DE，
在Rt△ABD中，BD＝＝3，
∵∠A＝∠C，∠ADB＝∠DEC＝90°，
∴△ABD∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
2．（1）证明：
∵直径DE⊥AB于点F，
∴AF＝BF，
∴AM＝BM；
（2）连接AO，BO，如图，
由（1）可得
AM＝BM，
∵AM⊥BM，
∴∠MAF＝∠MBF＝45°，
∴∠CMN＝∠BMF＝45°，
∵AO＝BO，DE⊥AB，
∴∠AOF＝∠BOF＝，
∵∠N＝15°，
∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝．
∴∠AOF＝∠ACB＝60°．
∵DE＝8，
∴AO＝4．
方法1：在Rt△AOF中，OF＝AO＝2，AF＝＝，
在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．
在Rt△ACM中，AC2＝CM2+AM2，即（2CM）2＝CM2+（2）2，解得CM＝，
∴BC＝CM+BM＝+．
方法2：在Rt△AOF中，由sin∠AOF＝，得AF＝，
在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．
在Rt△ACM中，由，得CM＝，
∴BC＝CM+BM＝+．
3．解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵FB是⊙O的切线，
∴∠FBD＝90°，
∴∠FBA+∠ABD＝90°，
∴∠FBA＝∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，连接OC，
∵∠OHC＝∠HCA＝90°，
∴AC∥OH，
∴∠ACO＝∠COH，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，
即∠ABD＝∠ACO，
∴∠ABD＝∠COH，
∵∠H＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△HOC，
∴＝＝2，
∴CH＝DA；
（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，
∴＝2，
∵OH＝6，⊙O的半径为10，
∴AB＝2OH＝12，BD＝20，
∴AD＝＝16，
在△ABF与△ABE中，，
∴△ABF≌△ABE，
∴BF＝BE，AF＝AE，
∵∠FBD＝∠BAD＝90°，
∴AB2＝AF?AD，
∴AF＝＝9，
∴AE＝AF＝9，
∴DE＝7，BE＝＝15，
∵AD，BC交于E，
∴AE?DE＝BE?CE，
∴CE＝＝＝．
4．解：（1）如图1，
∵CD＝BC，
∴，
∴∠BDC＝∠DAC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD2＝CE?AC；
（2）如图1，OC与BD的交点记作点F，设CE＝x，
∵AE＝2CE，
∴AE＝2x，
∴AC＝AE+CE＝3x，
由（1）知，CD2＝CE?AC，
∴CD2＝x×3x＝3x2，
∴CD＝x，
∴BC＝CD＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
根据勾股定理得，AB＝＝2x，
∴OA＝OB＝AB＝x，
∴OB＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∵，
∴OC⊥BE，
∴OF＝OB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠OFB，
∴OF∥AD，
∵OA＝OB，
∴AD＝2OF＝x，
∴＝＝1；
（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵CH是⊙O的切线，
∴∠OCH＝90°，
∴∠CHO＝30°，
∴OH＝2OC，
∵OH＝OB+BH＝OC+BH，
∴OB＝BH，
∴OA＝OB＝BH，
∴S△ACH＝3S△BOC＝9，
∴S△BOC＝3，
∵S△BOC＝OB2＝×（x）2＝3，
∴x＝﹣2（舍）或x＝2，
∴EC＝2．
5．（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE，则CD+DE＝BE，
∵∠ABD＝45°，
∴BE＝＝，
则△BDC的周长是2+2．
故答案为：2+2．
6．解：（1）AB＝AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵DC＝BD，
∴AB＝AC；
（2）连接OD、OF．
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝＝＝55°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∴的度数是70°；
同理，∠AOF＝40°，
则∠DOF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOD＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
则的度数是70°，的度数是40°．
7．解：（1）①②?③，正确；①③?②，错误；②③?①，正确．
（2）先证①②?③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE＝∠DGF．
∴∠DGE＝∠DGF＝90°．
∴AD⊥EF．
再证②③?①．如图2，
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE＝AD，OF＝AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAF．
即AD平分∠BAC．
8．解：（Ⅰ）如图1，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，即BD＝12，
∵，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝6；
（Ⅱ）如图2，作BH⊥AC于H，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，BD＝＝，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠BAC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝×＝，
在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴AC＝AH+CH＝+＝4．
9．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°．
答：∠CBD的度数为30°；
（2）证明：如图，连接BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴＝＝，
∴BF＝3，CF＝2，
∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，
∴△BDF∽△ACF，
∴＝＝＝2，＝，
∴DF＝BD，
DF?AF＝BF?CF＝6，
∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，
∴BD2＝DF?DA＝DF（AF+DF）＝DF?AF+DF2＝6+（BD）2，
解得BD＝2，
∴DE＝BD＝2．
答：DE的长为2．
10．证明：（1）连接OE．
∵直线l与⊙O相切于E，
∴OE⊥l．
∵l∥BC，
∴OE⊥BC，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC；
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
又∵＝，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴∠CBE+∠CBF＝∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB＝∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝EF．
高分突破压轴专练（四）
1．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC的中点D，DE与⊙O相切，且交BC于E．若⊙O的直径为5，AC＝8．求DE的长．
2．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．
3．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；
（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．
4．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：DC2＝CE?AC；
（2）若AE＝2EC，求之值；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝9，求EC之长．
5．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是
．
6．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）若∠BAC＝70°，求弧BD、弧DF和弧AF的度数．
7．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①②?③，①③?②，②③?①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
8．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，，求AB的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．
（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DB＝DE；
（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分线BF交AE于点F，求证：BE＝EF．
参考答案
1．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵D点为AC的中点，
∴BA＝BC，AD＝CD＝AC＝4，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE，
∴BC⊥DE，
在Rt△ABD中，BD＝＝3，
∵∠A＝∠C，∠ADB＝∠DEC＝90°，
∴△ABD∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
2．（1）证明：
∵直径DE⊥AB于点F，
∴AF＝BF，
∴AM＝BM；
（2）连接AO，BO，如图，
由（1）可得
AM＝BM，
∵AM⊥BM，
∴∠MAF＝∠MBF＝45°，
∴∠CMN＝∠BMF＝45°，
∵AO＝BO，DE⊥AB，
∴∠AOF＝∠BOF＝，
∵∠N＝15°，
∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝．
∴∠AOF＝∠ACB＝60°．
∵DE＝8，
∴AO＝4．
方法1：在Rt△AOF中，OF＝AO＝2，AF＝＝，
在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．
在Rt△ACM中，AC2＝CM2+AM2，即（2CM）2＝CM2+（2）2，解得CM＝，
∴BC＝CM+BM＝+．
方法2：在Rt△AOF中，由sin∠AOF＝，得AF＝，
在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．
在Rt△ACM中，由，得CM＝，
∴BC＝CM+BM＝+．
3．解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵FB是⊙O的切线，
∴∠FBD＝90°，
∴∠FBA+∠ABD＝90°，
∴∠FBA＝∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，连接OC，
∵∠OHC＝∠HCA＝90°，
∴AC∥OH，
∴∠ACO＝∠COH，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，
即∠ABD＝∠ACO，
∴∠ABD＝∠COH，
∵∠H＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△HOC，
∴＝＝2，
∴CH＝DA；
（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，
∴＝2，
∵OH＝6，⊙O的半径为10，
∴AB＝2OH＝12，BD＝20，
∴AD＝＝16，
在△ABF与△ABE中，，
∴△ABF≌△ABE，
∴BF＝BE，AF＝AE，
∵∠FBD＝∠BAD＝90°，
∴AB2＝AF?AD，
∴AF＝＝9，
∴AE＝AF＝9，
∴DE＝7，BE＝＝15，
∵AD，BC交于E，
∴AE?DE＝BE?CE，
∴CE＝＝＝．
4．解：（1）如图1，
∵CD＝BC，
∴，
∴∠BDC＝∠DAC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD2＝CE?AC；
（2）如图1，OC与BD的交点记作点F，设CE＝x，
∵AE＝2CE，
∴AE＝2x，
∴AC＝AE+CE＝3x，
由（1）知，CD2＝CE?AC，
∴CD2＝x×3x＝3x2，
∴CD＝x，
∴BC＝CD＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
根据勾股定理得，AB＝＝2x，
∴OA＝OB＝AB＝x，
∴OB＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∵，
∴OC⊥BE，
∴OF＝OB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠OFB，
∴OF∥AD，
∵OA＝OB，
∴AD＝2OF＝x，
∴＝＝1；
（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵CH是⊙O的切线，
∴∠OCH＝90°，
∴∠CHO＝30°，
∴OH＝2OC，
∵OH＝OB+BH＝OC+BH，
∴OB＝BH，
∴OA＝OB＝BH，
∴S△ACH＝3S△BOC＝9，
∴S△BOC＝3，
∵S△BOC＝OB2＝×（x）2＝3，
∴x＝﹣2（舍）或x＝2，
∴EC＝2．
5．（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE，则CD+DE＝BE，
∵∠ABD＝45°，
∴BE＝＝，
则△BDC的周长是2+2．
故答案为：2+2．
6．解：（1）AB＝AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵DC＝BD，
∴AB＝AC；
（2）连接OD、OF．
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝＝＝55°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∴的度数是70°；
同理，∠AOF＝40°，
则∠DOF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOD＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
则的度数是70°，的度数是40°．
7．解：（1）①②?③，正确；①③?②，错误；②③?①，正确．
（2）先证①②?③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE＝∠DGF．
∴∠DGE＝∠DGF＝90°．
∴AD⊥EF．
再证②③?①．如图2，
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE＝AD，OF＝AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAF．
即AD平分∠BAC．
8．解：（Ⅰ）如图1，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，即BD＝12，
∵，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝6；
（Ⅱ）如图2，作BH⊥AC于H，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，BD＝＝，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠BAC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝×＝，
在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴AC＝AH+CH＝+＝4．
9．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°．
答：∠CBD的度数为30°；
（2）证明：如图，连接BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴＝＝，
∴BF＝3，CF＝2，
∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，
∴△BDF∽△ACF，
∴＝＝＝2，＝，
∴DF＝BD，
DF?AF＝BF?CF＝6，
∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，
∴BD2＝DF?DA＝DF（AF+DF）＝DF?AF+DF2＝6+（BD）2，
解得BD＝2，
∴DE＝BD＝2．
答：DE的长为2．
10．证明：（1）连接OE．
∵直线l与⊙O相切于E，
∴OE⊥l．
∵l∥BC，
∴OE⊥BC，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC；
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
又∵＝，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴∠CBE+∠CBF＝∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB＝∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝EF．