华东师大版九年级下册第27章《圆》高分突破压轴专练（五）（Word版 含解析）

华东师大版九下第27章《圆》
高分突破压轴专练（五）
1．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长．
2．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN?MC＝9，求BM的值．
3．如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝45°，∠AOC＝150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）求证：CD＝CB；
（2）如果⊙O的半径为，求AC的长．
4．已知：如图1，BC是圆O上的一条弦，点A是优弧BC上的中点，过点A作AP⊥BC．
（1）求证BP＝CP；
（2）如图2，点A是优弧BC上的中点，若点D是弧AB上一点，连结BD，CD，AB，AC，过A作AQ⊥DC于Q，求证：BD+DQ＝CQ．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P，AD＝BC．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝35°，则∠CAP＝　 　°．
6．（1）初步思考：
如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN＝PC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD﹣PC的最大值．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，使⊙O与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AC＝6，tanB＝，求⊙O的半径．
8．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若⊙O的半径为r．
求：Rt△MBN的周长．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD和弧CD的长．
10．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　 　；
（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．
参考答案
1．（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE＝90°，
∴∠EAB+∠E＝90°．
∵∠E＝∠C，∠C＝∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD＝90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ABE＝90°，直径AE＝2AO＝6，AB＝4，
∴．
∵∠E＝∠C＝∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD＝cos∠E．
∴．
∴．
2．（1）①证明：如图1中，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴，
∴AM2＝MC?MN，
∵MC?MN＝9，
∴AM＝3，
∴BM＝AM＝3．
3．（1）证明：连接OB，则∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝OBA＝45°，
∵∠AOC＝150°，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝15°，
∴∠OCB＝∠OCA+∠ACB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠OBC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠OBA﹣∠OBC＝75°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD＝360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°＝75°，
∴∠CBD＝∠D，
∴CB＝CD；
（2）在Rt△AOB中，AB＝OA＝×＝2，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCB＝∠CAD，
∵∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA，
∴，
∴CD2＝AD?BD＝BD?（BD+AB），
∵CD＝BC＝OC＝，
∴2＝BD?（2+BD），
解得：BD＝﹣1，
∴AC＝AD＝AB+BD＝+1．
4．证明：（1）如图1中，连接AB，AC．
∵＝，
∴AB＝AC，
∵AP⊥BC，
∴BP＝PC．
（2）如图2中，连接AD，在QC上截取QJ＝QD，连接AJ．
∵AQ⊥DJ．QD＝QJ，
∴AD＝AJ，
∴∠ADJ＝∠AJD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADJ，∠AJD＝∠ACJ+∠CAJ，
∵∠ACB＝∠DCB+∠ACJ，
∴∠DCB+∠ACJ＝∠ACJ+∠CAJ，
∴∠DCB＝∠CAJ，
∵∠DCB＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠CAJ，
∵AD＝AJ，AB＝AC，
∴△DAB≌△JAC（SAS），
∴BD＝CJ，
∴BD+DQ＝CJ+QJ＝QC．
5．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°．
在Rt△ACB与Rt△BDA中，
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝35°，
∴∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴＝，
∴∠BAD＝35°，
∴∠CAP＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°．
故答案为：20．
6．（1）证明：如图1，
∵PB＝2，BC＝4，BN＝1，
∴PB2＝4，BN?BC＝4．
∴PB2＝BN?BC．
∴＝．
又∵∠B＝∠B，
∴△BPN∽△BCP．
∴＝＝．
∴PN＝PC；
（2）如图2，在BC上取一点G，使得BG＝1，
（3）同（2）中证法，如图3，
取BG＝1，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的最大值，最大值为．
7．证明：（1）连接OD，
∵直线BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠OAD，
即AD平分∠BAC；
（2）设OA＝OD＝r，CB＝，
∴AB＝，
∵∠C＝∠ODB＝90°，∠B为公共角，
∴△ACB∽△ODB，
∴，即，
解得：r＝，
所以⊙O的半径为．
8．解：连接OD、OE．
∵AB和BC是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，BD＝BE，
则四边形DBEO是正方形．
∴BD＝BE＝r，
又∵MN是切线，
∴MP＝MD，NP＝NE，
∴Rt△MBN的周长＝BM+BN+MN＝BM+BN+MP+NP＝BM+BN+DM+NE＝BD+BE＝2r．
9．（1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°．
∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠BDE＝120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°．
∴∠ABD＝∠EAD＝30°．
∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm；
连接OC，
∴∠DOC＝2∠DBC＝60°，
∴的长＝＝π．
10．（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案为9．
（3）解：结论：＝，的值不变．
理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．
∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不变．