2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷三（江苏等八省新高考地区适用）原卷版Word含解析

2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷三
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数z满足(2＋i)z＝2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（
）
A．
B．
C．
D．
2.
已知集合
，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知角的终边过点，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4.朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
5.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若，则该双曲线的离心率为
A．
B．2
C．
D．
6.已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
7.已知一个球的半轻为3.则该球内接正六校锥的体积的最大值为（
）
A.
10
B.
C.
D.
8.设函数，若存在区间，使得在上值域为，则实数k的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列命题中正确的是
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充要条件
C．“，”是真命题
D．“，”的否定是：“，”
10.设，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则（
）
A．OD的长度是a，b的几何平均数
B．DE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的算术平均数
D．FC的长度是a，b的加权平均数
11.已知函数，则（
）
A.
的图象关于点对称
B.
的图象的一条对称轴是
C.
在上递减
D.
在值域为
12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（
）
A．三棱锥的体积为定值
B．当向运动时，二面角逐渐变小
C．在平面内的射影长为
D．当与重合时，异面直线与所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知幂函数y=
f(x)的图象过点，则曲线y=
f(x)在点处的切线方程为___________
14.
在平面四边形ABCD中，已知点E，F分別在边AD，BC上，，，，，，则向量与的夹角的余弦值为________．
15.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.
16.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对，不等式恒成立，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设函数，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝2.
（1）若，求B；
（2）若a＝2c，求△ABC的面积.
18.已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，_______.
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上述题干中的横线上.求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，求数列的前n项和
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.已知椭圆的左?右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为()
(i=1，2，3...20)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下(
按数学成绩降序整理):
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学总评成绩x
95
92
91
90
89
88
88
87
86
85
物理总评成绩y
96
90
89
87
92
81
86
88
83
84
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学总评成绩x
83
82
81
80
80
79
78
77
75
74
物理总评成绩
81
80
82
85
80
78
79
81
80
78
（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.
参考数据：
参考公式：相关系数
（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.
22.已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷三
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数z满足(2＋i)z＝2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，故选C．
【点睛】本题考查了复数运算及模的定义,属于基础题.
2.
已知集合
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】故选：C
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及利用集合的交运算再求解.属于基础题.
3.
已知角的终边过点，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题得．所以点，
所以．故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，属于基础题.
4.朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，
则=，且=2a1，∴q=，
∴==q6=．故选A．
【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
5.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若，则该双曲线的离心率为
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，
由，得，
即，∴，即.
则.故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题.
6.已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时，
因为,在单增,所以为单增函数
因为为定义在上的奇函数,
，为单增函数
,故选：D
【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式，属于基础题.
7.已知一个球的半轻为3.则该球内接正六校锥的体积的最大值为（
）
A.
10
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，
则，
，
令，
则，
，
可得时，，单调递增；时，，单调递减，
，
故该球内接正六校锥的体积的最大值为.故选：C.
【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是将体积用函数表示，利用导数进行计算.属于中档题.
8.设函数，若存在区间，使得在上值域为，则实数k的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可得，设，则，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
又因为，所以在上单调递增，
又在上的值域为，所以，
则方程在上的两个根为、，
由，可得，
构造函数，其中，，
令，其中，，
当时，，所以，函数在上单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减；
当时，，即，此时函数单调递增.
所以，，，如下图所示：
由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.故选：C.
【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,常见方法如下:
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
（3）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；属于稍难题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列命题中正确的是
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充要条件
C．“，”是真命题
D．“，”的否定是：“，”
【答案】BC
【解析】“”是“”的充分不必要条件，故A错误；“，”的否定是：“，”，故D错误．故选BC．
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件以及存在命题的否定,属于基础题.
10.设，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则（
）
A．OD的长度是a，b的几何平均数
B．DE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的算术平均数
D．FC的长度是a，b的加权平均数
【答案】BD
【解析】选项A
是直角，是斜边中点，则，是算术平均数，A错；
选项B由直角中射影定理得，，在直角中由射影定理得是调和平均数，B正确；
选项C
是几何平均数，C错；
选项D连接，∵是弧的中点，∴，，
∴为加权平均数．D正确.
故选：BD．
【点睛】本题考查了平均数，几何平均数，算术平均数，调和平均数，加权平均数，考查这些平均数在几何的几何意义．可用直角三角形的知识进行求解判断．属于基础题.
11.已知函数，则（
）
A.
的图象关于点对称
B.
的图象的一条对称轴是
C.
在上递减
D.
在值域为
【答案】BC
【解析】，所以.
对选项A，，故A错误；
对选项B，，所以为图象的一条对称轴，
故B正确.
对选项C，因为，所以，
所以函数在为增函数，
即在为减函数，故C正确.
对选项D，，所以，
所以，，故D错误.
故选：BC
【点睛】本题考查了导数运算公式以及三角函数图像与性质，属于中档题.
12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（
）
A．三棱锥的体积为定值
B．当向运动时，二面角逐渐变小
C．在平面内的射影长为
D．当与重合时，异面直线与所成的角为
【答案】AC
【解析】
选项A:连接,由正方体性质知是矩形，
连接交于点
由正方体性质知平面,
所以，是点到平面的距离，即
是定值.选项B:
连接与交于点，连接，
由正方体性质知,是中点，
,又,
的大小即为与所成的角，
在直角三角形中，为定值.
选项C:
如图，作
在直角三角形中，
选项D:
当与重合时，与重合，连接与交于点，连接,
异面直线与所成的角,即为异面直线与所成的角,
在三角形中，,
由余弦定理得
故选：AC
【点睛】本题考查了空间几何体性质问题.通常解题思路：(1)弄清点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)弄清线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)弄清长度、角度等几何度量的变化．　
求空间几何体体积方法：①直接利用公式进行求解．②求三棱锥的体积常用等体积转换法；③若所给定的几何体是不规则几何体，则利用割补法求解.属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知幂函数y=
f(x)的图象过点，则曲线y=
f(x)在点处的切线方程为___________
【答案】
【解析】设，将代入，，解得，
，则，，
则切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了幂函数定义以及导数的几何意义,属于基础题.
14.
在平面四边形ABCD中，已知点E，F分別在边AD，BC上，，，，，，则向量与的夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
如图，连结AC，取点G，使得AC=3AG，连结EG,FG，
则为与所成交的补角，
在中，由余弦定理可得
，所以与所成交角的余弦值为
故答案为：
【点睛】本题考查了余弦定理，考查解决问题能力和数学运算能力,属于基础题.
15.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，
所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.
16.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对，不等式恒成立，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，
则函数的最小正周期为，，，
当时，，
，，，
由于不等式对恒成立，
所以，解得．
因此，的取值范围是．故选：A．
【点睛】本题考查利用三角不等式恒成立求参数，同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数，解答的关键在于求得和的取值范围，考查计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设函数，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝2.
（1）若，求B；
（2）若a＝2c，求△ABC的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）函数＝＝.
由于f（A）＝0，所以，即，又，
所以，所以，解得A＝.
由于，利用正弦定理，解得，
由于B∈（0，π），所以B＝或.
由于b＜a，所以B＝.
（2）由a＝2c，根据余弦定理得：，
整理得3c2+2c﹣4＝0，解得c＝（负值舍去）.
由于b＝2，故.
【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用、正弦定理余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查了学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.
18.已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，_______.
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上述题干中的横线上.求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，求数列的前n项和
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）选①，因为，
所以，即，
又数列是公比为2的等比数列，
所以，解得，
因此.
此时任意，，
由于，
所以是数列的第项，
因此数列满足条件P.
选②，因为，即，
又数列是公比为2的等比数列，
所以，解得
因此
此时，即不为数列中的项，
因此数列不满足条件P.
选③，因为，
又数列是公比为2的等比数列，
所以1，又，故，
因此.
此时任意，，
由于，所以是为数列的第项，
因此数列满足条件P.
（2）根据题意可得，
∴.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式的求解，判断数列是否满足某种条件，裂项相消法求和，属于基础题.
19.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】证明：（1）取中点，连结，
∵，∴，
，
∵平面，平面平面，
平面平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵平面，平面平面，平面平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由（1）得平面，∴，
又，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则．
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.属于中档题.
20.已知椭圆的左?右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定点.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，可得，
由椭圆的定义，得，可得，
所以，即，
又由和，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由已知直线过点，设的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
设，，则，
所以，
.
又直线与斜率分别为，，
则.
因为，所以当时，，.
所以在负半轴上存在定点，使得直线与斜率之积为定值.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．属于中档题.
21.某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为()
(i=1，2，3...20)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下(
按数学成绩降序整理):
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学总评成绩x
95
92
91
90
89
88
88
87
86
85
物理总评成绩y
96
90
89
87
92
81
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序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学总评成绩x
83
82
81
80
80
79
78
77
75
74
物理总评成绩
81
80
82
85
80
78
79
81
80
78
（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.
参考数据：
参考公式：相关系数
（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；答案见解析；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）由题意，
，
所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；
(2)
由题意得：的可能取值为0，1，2，3，4.，
根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，
所以，，，，，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
【点睛】本题考查了对的值合理放缩及超几何分布的应用.属于中档题.
22.已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.
【解析】（1）当时，，
令，则.
令，得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是的极小值点，也是最小值点，
即
故当时，成立.
（2）
，由，得.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是函数的极小值点，也是最小值点，
即.
当，即时，在上没有零点.
当，即时，在上只有一个零点.
当，即时，因为，
所以在内只有一个零点；
由（1）得，令，得，
所以，于是在内有一个零点；
因此，当时，在上有两个零点.
综上，时，函数在上没有零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于稍难题.