2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷四（江苏等八省新高考地区适用）原卷版Word含解析

2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷四
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则
A．
B．
C．
D．
5.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
6.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（
）
A.
35
B.
40
C.
50
D.
70
7.已知，，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列命题中正确的是（
）
A.
命题".
sinx"的否定是“x∈R，sinx>1"
B.
“a>1"是<1”的充分不必要条件
C.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形
D.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A=
sin2B，则A=B
10.若将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数的图象，则实数的值可能是（
）
A.
B.
C.
D.
11.已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
12.在棱长为1的正方体中中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（
）
A．异面直线和所成的角为定值
B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值
D．直线和平面所成的角为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知二项式的展开式中含项的系数是160，则实数a的值是　　．
14.
从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
15.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术?商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术?商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，则四面体PABC的外接球的表面积为________.
16.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相切且，则直线的方程为
；为上的动点，则的最小值是
．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
设函数.
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角中，设角，，的对边长分别为，，．若，，求周长的取值范围．
18.给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
（1）求数列的通项公式；.
（2）设数列满足，求数列的前n项和.
19.如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20.已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点非长轴端点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
21.
为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有名客户．
（1）完成下面列联表，并分析是否有97．5%的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?
附：
0010
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
，其中．
22.已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）设，恒成立，求a的最大值；
（2），讨论函数在上的零点个数．
（参考数据：，）
2020-2021学年高三数学上学期期末考试仿真模拟试卷四
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，故选：D
【点睛】本题考查了集合的并集运算，是基础题
2.已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，
所以.故选：D
【点睛】本题考查了复数运算与复数相等,属于基础题.
3.
已知，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由函数单调递减，
则，
由单调递减，
则，即，
由单调递增，
则，
所以.故选：C
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较大小，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
4.
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点在角的终边上，所以，
故．故选：D
【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角的基本关系，属于基础题.
5.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设直线与圆相切于点，连接，
则，椭圆的左右焦点分别为，，
∵轴，∴，∴，
∵，∴轴，∴，
∴，即，解得，故选A．
【点睛】本题考查了椭圆的定义、三角形相似、离心率，属于基础题.
6.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（
）
A.
35
B.
40
C.
50
D.
70
【答案】C
【解析】6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，
所以不同的分配方案为,故选：C
【点睛】本题考查了排列组合,属于基础题.
7.已知，，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】已知，，，
则，
当且仅当
时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，故选：．
【点睛】本题考查了基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
8.已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，画出图形，
设且外接球球心为，半径为，
根据题意，有，解得，
根据题意，有球心为正三角形的中心，
因为，所以，，所以正三角形的边长为，
，所以，
因为平面平面，所以，所以．
【点睛】本题考查了侧面与地面垂直的几何体的外接球问题,考查运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列命题中正确的是（
）
A.
命题".
sinx"的否定是“x∈R，sinx>1"
B.
“a>1"是<1”的充分不必要条件
C.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形
D.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A=
sin2B，则A=B
【答案】AB
【解析】选项A，符合命题的否定的定义，A正确；
选项B，“a>1”可以推导出<1，但是<1，包括，所以，<1无法得出a>1，B正确；
选项C，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，只能说明为锐角，无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；
选项D，sin2A=
sin2B，当时，同样成立，D错；故选：AB
【点睛】本题考查了全称命题的否定、充分条件与必要条件以及解三角形知识，属于基础题.
10.若将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数的图象，则实数的值可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】若将函数的图象上所有的点向右平移个单位，可得的图象；再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到的图象，即
令，可得，令，可得
，故选：AC
【点睛】本题考查了三角函数图像变换,属于基础题.
11.已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】，
又故正确；
，，且，，故正确；
,故正确；
等价于，即，
等价于,但当时，满足条件，，且，,故C错误；故选：.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.属于中档题.
12.在棱长为1的正方体中中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（
）
A．异面直线和所成的角为定值
B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值
D．直线和平面所成的角为定值
【答案】ABC
【解析】对于A，因为在正方体中，
，，
又，，平面，
所以平面，
而平面，所以，
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；
对于B，因为平面与面是同一平面，
，面，平面，
故平面，即平面，故B正确；
对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面，且大小一定，
又因为，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点A到平面的距离即为点P到该平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D，由线面夹角的定义，令与的交点为O，
所以平面，
可得即为直线与平面所成的角，
当P移动时这个角是变化的，故D错误.故选：ABC.
【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，属于较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知二项式的展开式中含项的系数是160，则实数a的值是　　．
【答案】2
【解析】二项式的展开式的通项公式为,
令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展开式中含x3项的系数是
，
解得实数a＝2，故答案为2．
【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项求特定项系数再求参,属于基础题.
14.
从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.
【点睛】本题考查了组合，对涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，属于基础题
15.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术?商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术?商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，则四面体PABC的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】如图，
由题意,则取的中点为点，
可得，即为球心，
则其半径，
则其表面积为，
故答案为：
【点睛】本题以数学文化为背景考查了四面体外接球表面积,属于中档题.
16.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相切且，则直线的方程为
；为上的动点，则的最小值是
．
【答案】，
【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为，
由于直线的斜率为，故直线方程为，即，
由，解得，，
设直线的方程为，
由，化简得，
由于直线与抛物线相切，判别式，解得，
故直线的方程为．
设直线上任意一点的坐标，
代入，得，
当时取得最小值为．
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线最值问题，属于中档题。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
设函数.
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角中，设角，，的对边长分别为，，．若，，求周长的取值范围．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）因
所以的最小正周期为.
因为，
所以
所以，函数的值域为.
（2）由，得.
因为为锐角，所以，所以，即.
因为，所以.
由正弦定理，得，，
所以
.
因为为锐角三角形，所以，，
即，解得.
所以，所以，即.
所以周长的取值范围为区间.
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理将边化角以及利用三角函数的图象求取值范围，属于基本题.
18.给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
（1）求数列的通项公式；.
（2）设数列满足，求数列的前n项和.
【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.
【解析】若选条件①.
（1）由条件，得，
则公比，
令，可得，
即，所以，
从而有.
（2）由（1）得，，
则有，
则其前n项和为：
.
若选条件②.
（1）令，可得，
令，可得，
依次类推可得：，
将这一系列等式求和可得：.
其中，故可得.
（2）由（1）得，，
则有，
则其前n项和为：
【点睛】本题主要靠查了由递推公式求数列的通项公式，采用累加法考查了裂项相消求和，属于基础题.
19.如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.
【解析】（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
∵，∴，令，则，∴
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
，，，∴.
设二面角为，则.
∴设二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.属于中档题.
20.已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点非长轴端点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得，
∵，，，，
故椭圆的标准方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
设，，，，
点到直线的距离，
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
，
综上，面积的最大值为．
【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆位置关系以及三角形面积最值问题,属于中档题.
21.
为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有名客户．
（1）完成下面列联表，并分析是否有97．5%的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?
附：
0010
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
，其中．
【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）分布列见解析，；（3）．
【解析】（1）由题意知对业务水平的满意的为人，对服务水平的满意的为人，得列联表：
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
90
30
120
对业务水平不满意人数
10
10
20
合计
100
40
140
，
所以，有的把握认为业务水平与服务水平有关．
（2）的可能取值为；
所以，，．
则的分布列如下，
0
1
·
．
（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，
只对其中一项不满意的客户流失率为，
对两项都不满意的客户流失率为．
从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，
在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有名客户流失的概率为．
【点睛】本题主要考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列及其数学期望以及事件概率,其中离散型随机变量的分布列及其数学期望解题步骤如下：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.属于中档题
22.已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）设，恒成立，求a的最大值；
（2），讨论函数在上的零点个数．
（参考数据：，）
【答案】（1）3
（2）当时，在上的零点个数为1；
当时，
在上的零点个数为2．
【解析】（1）设函数，
所以，令得
且当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
因为要使得恒成立，只要恒成立即①
设，且
∴，∴在上单调递减
又，，
且图象连续不断，所以满足①的的最大值为3．
（2），
设，则，
因为，所以在内必存在唯一的实数，使得
所以，，为增函数；，，为减函数
（说明单调性同样给分）
下面先证明：．因为，所以，，
∵当时，有，，（不证明不扣分）
∴，∴，
∴
下证，即证，即证．
∵
∴．
下面求函数在上的零点个数
∵，，且函数在上单调递减
∴在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1
最后，求函数在上的零点个数
∵，，且函数在上单调递增
∴当时，，
所以函数在上没有零点，即函数在上的零点个数为0
当时，，
所以函数在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1
综上所述：当时，在上的零点个数为1；
当时，
在上的零点个数为2．
【点睛】本题主要考查了通过构造函数研究不等式恒成立问题以及利用导数研究函数零点个数，属于稍难题.