高中数学人教A版必修4第二章2.3.1平面向量基本定理题型专题练（Word含解析）

《平面向量基本定理》题型专题练
题型一：对基底概念的理解
1．若、是平面内的一组基底，则下四组向量能作为平面向量的基底的是（
）．
A．与
B．与
C．与
D．与
2．设、是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(
)
A．和
B．和
C．和
D．和
3．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(
)
A．与
B．与
C．与
D．与
4．设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
5．如果与是一组基底，则下列不能作为基底的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
6．已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
题型二：用基底表示向量
1．在△ABC中，已知D为AB上一点，若，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（
）．
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点.若则（
）
A．
B．
C．
D．
5．D是的边BC上的一点，且，设，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，已知，若点满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．在中，D为中点，E为上靠近D的三等分点，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知平行四边形中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．在中，点在边上且，为的中点，则（
）．
A．
B．
C．
D．
12．在△ABC中，，若，则λ+μ＝
13．在中，，分别为，边上的点，且，若，则
14．在中，为边的中点，，若，
则
15．如图，在中，点，满足，.若，则
16．在中，已知D是边上一点，若，
则
17．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为
18．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
19．已知的重心为，，，其中，，且，，共线，
则______．
20．如图，在中，.若，则的值为______，P是上的一点，若，则m的值为______.
21．在中，，，与相交于点，设，.
（1）用，表示；
（2）过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求证：.
《平面向量基本定理》题型专题练解析
题型一：对基底概念的理解
1．若、是平面内的一组基底，则下四组向量能作为平面向量的基底的是（
）．
A．与
B．与
C．与
D．与
【解析】，，故与不能作为基底，故A错误；
，，故与不能作为基底，故B错误；
，，故与不能作为基底，故C错误；
与不共线，故与可以作为基底，故D正确.
2．设、是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(
)
A．和
B．和
C．和
D．和
【解析】，故和共线，不能作为基底.
故选：C.
3．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(
)
A．与
B．与
C．与
D．与
【解析】对A项，设，则，无解
对B项，设，则，无解
对C项，设，则，无解
对D项，，所以两向量为共线向量，故选：D
4．设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
【解析】如下图所示：
①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
故选：B.
5．如果与是一组基底，则下列不能作为基底的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【解析】如下图所示，
由于与不共线，则与不共线，A选项中的两个向量不共线，可以作为基底；
如下图所示：
由于与不共线，则与不共线，B选项中的两个向量不共线，可以作为基底；
由题意知，与不共线，，C选项中的两个向量共线，不能作为基底；
与不共线，D选项中的两个向量可以作为基底.故选：C.
6．已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.
【解析】是平面向量的一组基底，且，
，解得，.
题型二：用基底表示向量
1．在△ABC中，已知D为AB上一点，若，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】
,故选B.
2．如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】，
故选：A
3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（
）．
A．
B．
C．
D．
【解析】因为，，
所以.故选：C.
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点.若则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】可得.
故选：C.
5．D是的边BC上的一点，且，设，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由向量的运算法则可得
故选：C.
6．如图，已知，若点满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由得，即，
又，所以，因此.
故选：C.
7．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据题意：，
又，
所以，故选：C
8．在中，D为中点，E为上靠近D的三等分点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】
，故选：D.
9．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，
所以.故选：D.
10．已知平行四边形中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图所示，
为，，
所以，又，
.
故选：C.
11．在中，点在边上且，为的中点，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【解析】因为在中，点在边上且，
所以，则，即，
又为的中点，所以，
则.故选：B.
12．在△ABC中，，若，则λ+μ＝
【解析】在△ABC中，因为，
所以，
又因为，所以，所以λ+μ＝.
13．在中，，分别为，边上的点，且，若，则
【解析】解：如图，
设，且，则：
，
，，解得
14．在中，为边的中点，，若，
则
【解析】因为为边的中点，所以有.
由，因此有.
15．如图，在中，点，满足，.若，则
【解析】因为
，
又，所以，所以.
16．在中，已知D是边上一点，若，
则
【解析】，，
17．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为
【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
18．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
【解析】解法1：因为，所以，
又，所以
因为点三点共线，所以，解得：.
解法2：因为，设，所以，
因为，所以，又，
所以，所以，
又，所以
解得：
，所以.
19．已知的重心为，，，其中，，且，，共线，
则______．
【解析】的重心为，，
，，共线，则存在实数，使得,
，
，解得，.
20．如图，在中，.若，则的值为______，P是上的一点，若，则m的值为______.
【解析】
如图：在中，.所以：，故.
由于点B?P?N三点共线.所以，
则：，整理得：，
故：.所以，解得.
故.
故答案为：①；②.
21．在中，，，与相交于点，设，.
（1）用，表示；
（2）过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求证：.
【解析】（1）∵，，三点共线，设，
∴.
同理由，，三点共线可得：，其中，根据平面向量基本定理知：，，，
∴.
（2）由，，三点共线，.
又由（1）知，所以，消去得.
2
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