人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）

(共16张PPT)
二维形式的柯西不等式
教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，
并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
1.
提问：
二元均值不等式有哪几种形式？
2.
练习：已知a、b、c、d为实数，
求证:
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
证法：（比较法）:
)及几种变式
∵(a2+b2)(c2+d2)
–(ac+bd)2
=
a2d2–2acbd+
b2c2
=(ad-bc)2≥0
∴
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时，等号成立.
教学过程：
一、复习准备：
你能简明地写出这个定理的其它证明？
证明：）
.
∵(a2+b2)(c2+d2)
=
a2c2+b2d2+a2d2+
b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
二、讲授新课：
1.
二维形式的柯西不等式：
当且仅当ad=bc时，等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
∵
∴
证明:∵a、b∈R
∴
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！
柯西不等式的几何意义：
o
y
x
β(c,d)
α
(a,b)
θ
设向量α=(a,b),β=(c,d),<α,β>=θ∈[0,]
∴|cosθ|≤
1，
当向量α、β
中有零向量或|cosθ|=
1
(即向量α、β
共线)，等号成立
∴|α?β|=|α||β||cosθ|≤
|α||β|，
用平面(二维)向量坐标表示不等式(2)得
即|α?β|≤
|α||β|.
(2)
|ac+bd
|≤
即：
(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
(1)
(1)式
与(2)式的关系？
(1)式是(2)式的坐标表示，(1)式的几何意义是(2).
2.
柯西不等式的向量形式:
定理2：设α、β是两个向量，则|α?β|≤|α||β|当且仅当β是零向量或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.
设向量α=(a,b),β=(c,d),<α,β>=θ∈[0,]
∴|cosθ|≤
1，
当向量α、β
中有零向量或|cosθ|=
1
(即向量α、β
共线)，等号成立
∴|α?β|=|α||β||cosθ|≤
|α||β|，
即|α?β|≤
|α||β|.
(2)
证明：
练习：
已知a、b、c、d为实数，求证:
当且仅当ad=bc时，等号成立.
.
分析:平方
→
应用柯西不等式
.证明：∵
∴
当且仅当ad=bc时，等号成立.
.
讨论：其几何意义？（构造三角形）
这个图中有什么不等关系?
设点P1(a,b),
P2(c,d);
已知a、b、c、d为实数，求证:
当且仅当ad=bc时，等号成立.
P2(c,d)
O
P1(a,b)
o
?
P1(a,b)
?P2(c,d)
则|op1|=,
|op2|=
;
即:.
|op1+|op2|>
当点o、p1、p2共线时，|op1+|op2|
①当abcd≠0时，即ad=bc时，等号成立；
②当a=c=0或b=d=0时，ad=bc，等号成立；
∴
当且仅当ad=bc时，等号成立.
3.
二维形式的三角不等式：
设x1、y1、x2、y2∈R，那么:
当且仅当=时，等号成立.
当且仅当=时，等号成立.
变式1：若则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
变式2：若则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
小结:
作业:
课本习题3.1
第1、3、7、8题另加下面
2题