2020-2021学年安徽省蚌埠市局属初中九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省蚌埠市局属初中九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在下列函数关系式中，二次函数的是（　　）
A． B．y＝x+2
C．y＝x2+1 D．y＝（x+3）2﹣x2
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
4．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
7．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象一部分，下面判断正确的有（　　）
A．a+b+c＝0
B．b＞2a
C．ax2+bx+c＝0两根是﹣3和1
D．a﹣2b+c＞0
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．其中正确的命题是（　　）
①AB2＝BD?BC；②AD2＝BD?CD；③AC2＝CD?CB；④AB?AC＝AD?CB．
A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．①③④
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是　 　cm．（结果保留根号）
12．（5分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 ……
y …… 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m ……
其中m的值为　 　．
13．（5分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有　 　个．
14．（5分）已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于　 　．
三、解答题（共9大题，满分90分）
15．（8分）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．
16．（8分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
17．（8分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
18．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′．
（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）
（2）求△A′B′C′的面积．
19．（10分）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2＝AB?AD．
20．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
21．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
22．（12分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
23．（14分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在下列函数关系式中，二次函数的是（　　）
A． B．y＝x+2
C．y＝x2+1 D．y＝（x+3）2﹣x2
解：A、y＝是反比例函数关系，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2是一次函数关系，故此选项不符合题意；
C、y＝x2+1是二次函数关系，故此选项符合题意；
D、y＝（x+3）2﹣x2是一次函数关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵DE∥BC，
∴AD：AB＝DE：BC，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴DE：BC＝1：3．
故选：A．
3．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．
故选：A．
4．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．
5．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：①当k＞0，则﹣k＜0，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上；
②k＜0时，则﹣k＞0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；
故选项B符合题意；
故选：B．
6．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是﹣3，
∵方程ax2+bx+c+2＝0，
∴ax2+bx+c＝﹣2时，即是y＝﹣2求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选：D．
7．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．﹣4
解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为，
∴＝2，
∴k1﹣k2＝4，
故选：C．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象一部分，下面判断正确的有（　　）
A．a+b+c＝0
B．b＞2a
C．ax2+bx+c＝0两根是﹣3和1
D．a﹣2b+c＞0
解：A、∵由图象可知当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+b+c＝0正确；
B、∵由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞2a错误；
C、∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）
∴另一个交点是（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0两根是﹣3和1正确；
D、∵b＝2a，
∴a﹣2b+c＝﹣3a+c，
∵a＞0，c＜0，
∴﹣3a+c＜0，
∴a﹣2b+c＞0错误；
故选：AC．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．其中正确的命题是（　　）
①AB2＝BD?BC；②AD2＝BD?CD；③AC2＝CD?CB；④AB?AC＝AD?CB．
A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．①③④
解：①∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴，
即AB2＝BD?BC，
故①正确；
②∵△BAD∽△BCA，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△BAD∽△ACD，
∴，
即AD2＝BD?CD，
故②正确；
③∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BAC∽△ACD，
∴，
即AC2＝CD?CB，
故③正确；
④∵，
∴AB?AC＝AD?CB，
故④正确．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　）
A． B． C． D．
解：①当0≤t≤4时，S＝×t×t＝t2，即S＝t2．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S＝16﹣×（8﹣t）×（8﹣t）＝﹣t2+8t﹣16．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是　（10﹣10）　cm．（结果保留根号）
解：∵把长度为20cm的线段进行黄金分割，
∴较长的线段＝20×＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
12．（5分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 ……
y …… 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 m ……
其中m的值为　5　．
解：∵当x＝1时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝﹣3，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴（﹣1，5）的对称点是（5，5），
∴m＝5，
故答案为5．
13．（5分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有　3　个．
解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，，即，
解得：x＝1或x＝6，
当△PDA∽△PCB时，，即，
解得：x＝，
则这样的点P共有3个，
故答案为：3
14．（5分）已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于　3　．
解：∵x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，
∴二次函数y＝x2+4x+6的对称轴为直线x＝＝，
又∵二次函数y＝x2+4x+6的对称轴为直线x＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴3m+3n+2＝﹣4，m+n＝﹣2，
∴当x＝3（m+n+1）＝3（﹣2+1）＝﹣3时，
x2+4x+6＝（﹣3）2+4×（﹣3）+6＝3．
故答案为：3．
三、解答题（共9大题，满分90分）
15．（8分）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．
解：∵线段MN是AB，CD的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN 2＝AB?CD，
∴MN＝，
∵AB＝4cm，CD＝9cm，
∴MN＝＝6（cm）．
16．（8分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
解：（1）把（0，5）代入y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2＝5，
解得m＝3
所以二次函数解析式为y＝x2+6x+5；
（2）因为y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x＝﹣3．
17．（8分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：（1）当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数．
∵一次函数y＝2x+1与x轴有一个交点，
∴k＝3．
（2）当k≠3时，y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数．
∵二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac≥0．
∵b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）＝﹣4k+16，
∴﹣4k+16≥0．
∴k≤4且k≠3．
综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4．
18．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′．
（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）
（2）求△A′B′C′的面积．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
A′（﹣4，8）；B′（﹣6，2）；C′（﹣2，2）．
（2）∵S△ABC＝×2×3＝3，
又∵△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴＝4，
S△A′B′C′＝4S△ABC＝12．
19．（10分）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2＝AB?AD．
解：∵DG∥EC，
∴AD：AE＝AG：AC，
∵EG∥BC，
∴AG：AC＝AE：AB，
∴AD：AE＝AE：AB，
即：AE2＝AB?AD．
20．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
解：（1）把A（1，6）代入y2＝得m＝1×6＝6，
所以反比例函数解析式为y2＝；
把B（a，2）代入y2＝得2a＝6，解得a＝3，
所以B点坐标为（3，2），
把A（1，6）和B（3，2）代入y1＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y1＝﹣2x+8；
（2）当1＜x＜3时，y1＞y2．
21．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
【解答】证明：（1）由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，又∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，又∠D＝∠C＝90°，
∴△OCP∽△PDA，
∴＝；
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴△OCP与△PDA的相似比为1：2，
∴PC＝AD＝4，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，
在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝82+（x﹣4）2，
解得，x＝10，即AB＝10；
22．（12分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），
即y＝﹣20x2+100x+6000．
因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；
（2）当时，
y有最大值，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
23．（14分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题可得：
，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，
∴NP＝|yN|＝yN＝﹣t2+t+1，
∴S＝AB?PN
＝×（2+）×（﹣t2+t+1）
＝（﹣t2+t+1）
＝﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴＝，
∴＝，
∴PN＝2PO．
①当﹣＜t＜0时，PN＝＝yN＝﹣t2+t+1，PO＝＝﹣t，
∴﹣t2+t+1＝﹣2t，
整理得：3t2﹣9t﹣2＝0，
解得：t1＝，t2＝．
∵＞0，﹣＜＜0，
∴t＝，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN＝＝yN＝﹣t2+t+1，PO＝＝t，
∴﹣t2+t+1＝2t，
整理得：3t2﹣t﹣2＝0，
解得：t3＝﹣，t4＝1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t＝1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．