2020-2021学年江苏省泰州市高三上学期期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省泰州市高三（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）设集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}．则M∩N＝（　　）
A．（0，1） B．（﹣2，2） C．（0，2） D．（﹣2，1）
2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：eiθ＝cosθ+isinθ（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，eiπ＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．1+i
4．（5分）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（　　）
A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米
5．（5分）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数λ+μ的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，
且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（　　）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 阈值
（mg/100mL）
饮酒驾车 [20，80）
醉酒驾车 [80，+∞）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（5分）若实数a，b，c满足2a＝log2b＝log3c＝k，其中k∈（1，2），则下列结论正确的是（　　）
A．ab＞bc B．logab＞logbc
C．a＞logbc D．cb＞ba
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），则下列选项正确的有（　　）
A．（+）?＝4 B．（﹣3）⊥
C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a＜0）的导函数y＝f'（x）的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（　　）
A．abc＜0
B．f（x）在区间[0，3]的最大值为0
C．f（x）只有一个零点
D．f（x）的极大值是正数
11．（5分）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（　　）
A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为m/h
12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（　　）
A．DP与D1Q所成角的最大值为
B．四面体ABPQ的体积不变
C．△AA1Q的面积有最小值
D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变
三、填空题（共4小题）.
13．（5分）已知，则cos2θ的值为　 　．
14．（5分）乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多　 　cm2．
15．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则+的最小值为　 　．
16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合A＝，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4＜0}．
（1）当m＝2时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知向量＝（cosx，﹣1），＝（sinx，cos2x），函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①（b﹣3c）cosA+acosB＝0；②sin2+cos2A＝；③；并解答以下问题：
（1）若选_____（填序号），求cosA的值；
（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC面积S的最大值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，△BCD为正三角形，E是CD的中点，DE＝PE，PD⊥BC．
（1）求证：平面PDE⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；
（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
21．（12分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．
（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；
（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；
（3）若?x1∈（0，+∞），?x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，g（x）＝kx．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若g（x）是f（x）的切线，求实数k的值；
（3）若f（x）与g（x）的图象有两个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞1．
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）设集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|﹣2＜x＜1}．则M∩N＝（　　）
A．（0，1） B．（﹣2，2） C．（0，2） D．（﹣2，1）
解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴M∩N＝（0，1）．
故选：A．
2．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为“ab＝0”得a＝0或b＝0，只有a＝0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；
复数＝a﹣bi为纯虚数，所以a＝0并且b≠0，所以ab＝0，
因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：eiθ＝cosθ+isinθ（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，eiπ＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．1+i
解：根据eiθ＝cosθ+isinθ，
可知eiπ＝＝﹣1．
故选：C．
4．（5分）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（　　）
A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米
解：设金字塔风化前的形状如图，
∵|AB|＝230，∴其底面周长为230×4＝920，
由题意可得：＝3.14159，
∴|PO|＝146.42．
∴胡夫金字塔现高大约为146.42﹣10＝136.42米．
结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为136.4米．
故选：C．
5．（5分）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数λ+μ的值为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意可知，．，
，，
∴，
，
∴，又，
则，，
∴，
故选：B．
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD，
令g（x）＝sinx+x，x＞0，
∴g′（x）＝cosx+1≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，
当x＞0时，3x+3﹣x＞0，
∴当x＞0时，f（x）＞0，故排除C，
故选：A．
7．（5分）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，
且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（　　）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 阈值
（mg/100mL）
饮酒驾车 [20，80）
醉酒驾车 [80，+∞）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
令，得，
解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，
∵n∈N*，∴n的值为6．
故选：B．
8．（5分）若实数a，b，c满足2a＝log2b＝log3c＝k，其中k∈（1，2），则下列结论正确的是（　　）
A．ab＞bc B．logab＞logbc
C．a＞logbc D．cb＞ba
解：∵2a＝log2b＝log3c＝k，∴a＝log2k，b＝2k，c＝3k，
∵k∈（1，2），∴0＜a＜1，b＞2，c＞3，b＜c，
∴ab＜a0＝1，bc＞b0＝1，∴ab＜bc，即A错误；
logab＜loga1＝0，logbc＞logb1＝0，∴logab＜logbc，即B错误；
0＜a＜1，3k＞2k＞1，c＞b＞1，logbc＞logbb＝1，∴a＜logbc，即C错误；
cb＞c＞b，ba＜b，∴cb＞ba，即D正确．
故选：D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），则下列选项正确的有（　　）
A．（+）?＝4 B．（﹣3）⊥
C． D．
解：由题意，可知
对于A：∵+＝（﹣4，2），
∴（+）?＝﹣4×（﹣1）+2×0＝4，故选项A正确，
对于B：∵﹣3＝（﹣3﹣3×（﹣1），2﹣3×0）＝（0，2），
∴（﹣3）?＝0×（﹣1）+2×0＝0，
∴（﹣3）⊥，故选项B正确，
对于C：∵﹣＝（﹣2，2），∴|﹣|＝＝2，
||＝?＝，
∴|﹣|≠||，故选项C不正确，
对于D：∵2＝||2＝（﹣3）2+22＝13，
2+4?＝||2+4?＝（﹣1）2+02+4×[（﹣3）×（﹣1）+2×0]＝13，
∴2＝2+4?，故选项D正确，
∴正确选项为ABD．
故选：ABD．
10．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a＜0）的导函数y＝f'（x）的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（　　）
A．abc＜0
B．f（x）在区间[0，3]的最大值为0
C．f（x）只有一个零点
D．f（x）的极大值是正数
解：f（x）＝ax3+bx2+cx（a＜0），
f′（x）＝3ax2+2bx+c，
由题意得：1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的根，
故b＝﹣a＞0，c＝6a＜0，故abc＞0，故A错误；
故f（x）＝ax3﹣ax2+6ax，
显然f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，2）递增，在（2，+∞）递减，
故f（x）在[0，1）递减，在（1，2）递增，在（2，3]递减，
而f（0）＝0，f（1）＝a＜0，f（2）＝2a＜0，f（3）＝a＜0，
故f（x）在[0，3]的最大值是0，故正确；
函数f（x）的大致图象如图示：
，
故函数f（x）只有1个零点，故C正确，D错误；
故选：BC．
11．（5分）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（　　）
A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为m/h
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率＝＝﹣，A错误，
对于B，S（t）＝3sin（t+），其最小正周期为＝24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确，
对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（×6+）＝﹣3，不是S（t）的最小值，C错误，
对于D，S（t）＝3sin（t+），其导数S′（t）＝3（t+）′cos（t+）＝cos（t+），则有S′（18）＝，D正确，
故选：BD．
12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（　　）
A．DP与D1Q所成角的最大值为
B．四面体ABPQ的体积不变
C．△AA1Q的面积有最小值
D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
所以DD1⊥AP，
因为AP⊥DQ，所以AP⊥平面DD1Q，
所以AP⊥D1Q，
因为P为BC中点，记A1B1中点为E，
所以Q位于直线D1E上．
A：记B1C1中点为H，连结EH，D1H，
易知D1H∥DP，
所以DP与D1Q所成角即为∠ED1H，
因为正方体棱长为1，
所以，
解得：cos∠，
所以DP与D1Q所成角为定值，为，
故A错误；
B：A，B，P三点为定点，
所以S△ABP为定值，
因为Q位于平面A1B1C1D1中，A，B，P在平面ABCD中，
所以点Q到平面ABP的距离为定值，
所以四面体ABPQ的体积不变，
故B正确；
C：在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥QA1，
所以，
在Rt△D1A1E中，A1D1＝2，A1E＝1，
所以点A1到D1E的距离的最小值为，
所以△AA1Q的面积有最小值为，
故C正确；
D：当Q不与D1重合时，D1与Q连线即为D1E，
故平面D1PQ即为平面D1PE，
此时截面固定，面积为定值，
当Q与D1重合时，两点确定一条直线，
则截面确定，此时面积为定值，
故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知，则cos2θ的值为　﹣　．
解：因为，
所以＝，解得tanθ＝2，
所以cos2θ＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（5分）乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多　64　cm2．
解：方案甲：6个乒乓球放一排，包装盒是长为4×6＝24，宽和高为4的长方体，
它的表面积为
S甲＝2×（4×4+4×24+4×24）＝416（cm2）；
方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，包装盒是长为4×3＝12，宽为4×2＝8，高为4的长方体，
它的表面积为
S乙＝2×（4×8+4×12+12×8）＝352（cm2）；
且S甲﹣S乙＝416﹣352＝64（cm2）；
所以方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多64cm2．
故答案为：64．
15．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则+的最小值为　4+2　．
解：∵正实数x，y满足x+y＝1，
∴y＝1﹣x，x∈（0，1），
∴+＝+＝﹣1++＝﹣1+，
令t＝3﹣x∈（2，3），
则+＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1+≥﹣1+＝﹣1+5+2＝4+2，
当且仅当t＝时取“＝“，
故答案为：4+2．
16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为　π　．
解：∵△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝，
∴cos∠ABC＝＝﹣，
∴sin∠ABC＝，
∴△ABC的外接圆的半径r＝×＝1．
直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AA1＝2，
则球O的半径R＝＝．
∴球O的体积＝R3＝π．
故答案为：π．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合A＝，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4＜0}．
（1）当m＝2时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|m﹣2＜x＜m+2}，
（1）m＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，
∴A∩B＝（0，2）；
（2）∵A∪B＝B，
∴A?B，
∴，解得0≤m≤1，
∴实数m的取值范围为[0，1]．
18．（12分）已知向量＝（cosx，﹣1），＝（sinx，cos2x），函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．
解：（1）由题意，可知
＝sinxcosx﹣cos2x
＝?2sinxcosx﹣
＝sin2x﹣cos2x﹣
＝sin（2x﹣）﹣，
则由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，可得
﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
（2）由题意，可知
当x∈[，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，
根据正弦函数的性质，可知
当2x﹣＝﹣，即x＝﹣时，函数f（x）取得最小值f（x）min＝﹣1﹣＝﹣，
当2x﹣＝﹣，即x＝﹣时，函数f（x）取得最大值f（x）max＝﹣＝0．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①（b﹣3c）cosA+acosB＝0；②sin2+cos2A＝；③；并解答以下问题：
（1）若选_____（填序号），求cosA的值；
（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC面积S的最大值．
解：（1）若选：①（b﹣3c）cosA+acosB＝0，
由正弦定理可得：（sinB﹣3sinC）cosA+sinAcosB＝0，
即：sin（A+B）＝3sinCcosA，
可得：sinC＝3sinCcosA，
因为：C为三角形内角，sinC＞0，
可得：cosA＝．
若选：②sin2+cos2A＝，
可得+2cos2A﹣1＝﹣，
可得36cos2A+9cosA﹣7＝0，
解得cosA＝，或﹣（由于A为锐角，舍去），
故cosA＝．
若选：③，
由正弦定理可得：sinAsinB＝sinB+sinBcosA，
因为sinB≠0，
可得sinA＝1+cosA，可得sin2A＝，
所以cos2A+＝1，整理可得：3cos2A+2cosA﹣1＝0，
解得cosA＝，或﹣1（由于A为锐角，舍去）．
（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
把cosA＝，a＝2代入可得：4＝b2+c2﹣bc≥bc，可得bc≤3，当且仅当b＝c时等号成立，
又因为A为三角形内角，可得sinA＞0，则sinA＝＝，
则S＝bcsinA＝bc，即S的最大值为．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，△BCD为正三角形，E是CD的中点，DE＝PE，PD⊥BC．
（1）求证：平面PDE⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；
（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】证明：（1）∵△BCD为正三角形，E是BC的中点，∴BC⊥DE，
又∵BC⊥PD，PD∩DE＝D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴BC⊥平面PDE．
∵BC?平面PBC，∴平面PDE⊥平面PBC；
解：（2）由（1）知，BC⊥平面PDE，又PE?平面PDE，
故PE⊥BC，又DE⊥BC，故∠PED为二面角P﹣BC﹣D的平面角，
△ABD中，AB＝3，AD＝，∠DAB＝90°，
故BD＝．
又△BCD为正三角形，故DE＝，
又PE＝DE，则PE＝3，又PD＝2，
故△PDE中，由余弦定理得：cos∠PED＝，
因此，二面角P﹣BC﹣D的余弦值为；
解：（3）由（2）知，sin∠PED＝，
作PH⊥DE于H，则PH＝PE?sin∠PED＝，
由（1）知，BC⊥平面PDE，又PH?平面PDE，
故PH⊥BC，又PH⊥DE，BC∩DE＝E，BC?平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PH⊥平面ABCD，
故＝．
21．（12分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．
（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；
（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；
（3）若?x1∈（0，+∞），?x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．
解：（1）∵f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x+1）＞3，
∴22x﹣2x+1＞3，∴（2x﹣3）（2x+1）＞0，
∴2x＞3，∴x＞log23，
∴不等式的解集为{x|x＞log23}．
（2），
当x∈[﹣1，0]时 ，
∴g（x）在[﹣1，0]上单调递减，又，∴；
当时，，
综上，当时，g（x）的值域为．
（3）当x1＞0，x2∈[﹣1，0]时 ，
?x1＞0，?x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，
即g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）max＞0，
由（2）知，，则g（2x1）+ag（x1）+5＞0，
，
令，则?x＞1，不等式恒成立，
∵，当且仅当，即时取等号，
∴，∴，
∴a的取值范围为．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，g（x）＝kx．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若g（x）是f（x）的切线，求实数k的值；
（3）若f（x）与g（x）的图象有两个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞1．
解：（1）∵f（x）＝x2﹣lnx，∴，
当时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减；
当时，f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增．
故函数f（x）的最小值为．
（2）若g（x）是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），
则过点（x0，f（x0））的切线方程为y＝f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），
即，即，
由题意知，
令h（x）＝﹣x2+1﹣lnx（x＞0），则x＞0时，，
∴h（x）＝﹣x2+1﹣lnx在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，
∴有唯一的实根x0＝1，则．
（3）证明：由题意，知，
两式相加，得，
两式相减，得，即，
∴，即，
不妨令0＜x1＜x2，记，则＝，
令，则，
∴在（1，+∞）上单调递增，则，
∴，因而lnx1x2+2x1x2＝，
令G（x）＝lnx+2x，则x＞0时，，
∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵G（x1x2）＝lnx1x2+2x1x2＞2＝G（1），
∴x1x2＞1．