2020-2021学年江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（　　）
A．（2，3） B．[2，3] C．（2，3] D．[2，3]∪{﹣2}
2．（5分）角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）等差数列中，a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78，则此数列前20项和等于（　　）
A．160 B．180 C．200 D．220
4．（5分）函数“的定义域为R”是“a≥1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要的条件
5．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线C：y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e
7．（5分）衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a?e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（　　）
A．125 B．100 C．75 D．150
8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若，Sn＜2，则{an}的公比的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选题（共4小题）.
9．（5分）已知函数，则（　　）
A．g（x）的图象关于点对称
B．g（x）的图象的一条对称轴是
C．g（x）在上递减
D．g（x）在值域为（0，1）
10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则（　　）
A．若S5＞S9，则S15＞0
B．若S5＞S9，则S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则S7＞S8
D．若S6＞S7，则S5＞S6
11．（5分）已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（　　）
A．1＜a＜2 B．a+b＝ab
C．ab的最小值为 D．
12．（5分）函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（　　）
A． B． C．k＝1 D．k＞1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为　 　．
14．（5分）对任意正数x，满足xy+，则正实数y的最大值为　 　．
15．（5分）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为　 　元（取1.211＝7.5，1.212＝9）．
16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式exf（ex）﹣ex+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为　 　
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π．
（1）求ω的值及g（φ）＝f（）的值域；
（2）若φ＝，sinα﹣2cosα＝0，求f（α）的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x（a∈R）
（1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）在①csin＝asinC，②2cosA（bcosC+ccosB）＝a，③（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．
（1）求C的值；
（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．
20．（12分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且满足a1＝b1＝2，a3+a5+a7＝30，b2b3＝a16．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}，{bn}的前n项相分别为Sn，Tn．
①是否存在正整数k．使得Tk+1＝Tk+bk+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
②解关于n的不等式Sn≥bn．
21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，则称[a，b]为f（x）的一个“k倍倒城区间“．定义在[﹣4，4]上的奇函数g（x），当x∈[0，4]时，g（x）＝﹣x2+4x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）在[2，4]内的“8倍倒城区间”；
（3）若g（x）在定义域内存在“k（k≥8）倍倒域区间”，求k的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ax?sinx．
（1）求曲线C：y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当a＝﹣2时，设函数，若x0是g（x）在（﹣π，0）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一极大值点，且0＜g（x0）＜2．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（　　）
A．（2，3） B．[2，3] C．（2，3] D．[2，3]∪{﹣2}
解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣2或x＞2}，
∴A∩B＝（2，3]．
故选：C．
2．（5分）角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），∴tanα＝＝，
∴cos2α＝3sinα﹣sin2α，∴sinα＝，
故选：C．
3．（5分）等差数列中，a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78，则此数列前20项和等于（　　）
A．160 B．180 C．200 D．220
解：∵a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18＝54＝3（a1+a20）
∴a1+a20＝18
∴＝180
故选：B．
4．（5分）函数“的定义域为R”是“a≥1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要的条件
解：定义域为R?a≥0，
∵{a|a≥1}?{a|a≥0}，
∴函数“的定义域为R”是“a≥1”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：由题知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，排除C和D，
将x＝π代入f（x），得f（π）＜0，
故选：A．
6．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线C：y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣e D．e
解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，
设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，
则1+lnm＝＝，
解得m＝e，k＝1+lne＝2，
故选：B．
7．（5分）衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a?e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（　　）
A．125 B．100 C．75 D．150
解：由题意得V＝a?e﹣50k＝a，①
可令t天后体积变为a，即有V＝a?e﹣kt＝a，②
由①可得e﹣50k＝，③
又②÷①得e﹣（t﹣50）k＝，
两边平方得e﹣（2t﹣100）k＝，
与③比较可得2t﹣100＝50，解得t＝75，
即经过75天后，体积变为a．
故选：C．
8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若，Sn＜2，则{an}的公比的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠1．
∵，Sn＜2，
∴＞0，＜2，
∴1＞q＞0．
∴1≤4﹣4q，解得．
综上可得：{an}的公比的取值范围是：．
故选：A．
二、多项选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题.目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．（5分）已知函数，则（　　）
A．g（x）的图象关于点对称
B．g（x）的图象的一条对称轴是
C．g（x）在上递减
D．g（x）在值域为（0，1）
解：∵函数＝﹣sinx﹣cosx＝﹣2sin（x+），
令x＝，求得g（x）＝﹣2，为最小值，故A错误、B正确；
当x∈（﹣，），x+∈（﹣，），函数g（x）单调递减，故C正确；
当x∈（﹣，），x+∈（0，），函数g（x）∈[﹣2，0），故D错误，
故选：BC．
10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则（　　）
A．若S5＞S9，则S15＞0
B．若S5＞S9，则S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则S7＞S8
D．若S6＞S7，则S5＞S6
解：若S5＞S9，则5a3＞9a5，即5（a1+2d）＞9（a1+4d），即a1+＜0，
∴d＜﹣a1＜0，数列{an}是递减数列，
又S15＝15a8＝15（a1+7d）＜15（a1﹣a1×7）＝﹣a1＜0，故选项A错误；
又d＜﹣a1＜0，不妨取d＝﹣a1，则a7＝a1+6d＝﹣a1＜0，故选项B错误；
若S6＞S7，则a7＜0，又a1＞0，∴数列{an}是递减数列，
∴S8＜S7，故选项C正确；
又当a7＜0时，a6有大于0的情形，故选项D错误，
故选：C．
11．（5分）已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（　　）
A．1＜a＜2 B．a+b＝ab
C．ab的最小值为 D．
解：函数f（x）的图象如图所示：
因为b＞a＞1，则由图知1＜a＜2＜b，A正确，
且由f（a）＝f（b）可得：lg（b﹣1）＝﹣lg（a﹣1），
则（a﹣1）（b﹣1）＝1，故a+b＝ab，B正确，
所以≥2＝2，
又因为a＜2，所以“＝”不能取，故，D正确，
故选：ABD．
12．（5分）函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（　　）
A． B． C．k＝1 D．k＞1
【解答】解∵函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，
∴ex?x﹣（lnx+k）﹣x＝0，
∴xex﹣k﹣ln（xex）＝0，
令t＝xex，（t＞0），则g（t）＝t﹣k﹣lnt，（t＞0）此函数只有一个零点，
∴，可知g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
∴g（1）＝0，
∴k＝1，此时＝1
?．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为　　．
解：因为f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x）对任意的x都成立，
即ax2﹣（a+2）x+a2＝ax2+（a+2）x+a2，
所以﹣（a+2）x＝（a+2）x恒成立，
所以a+2＝0即a＝﹣2，f（x）＝﹣2x2+4，
由＜0，
解得，﹣或x＞2．
故答案为：．
14．（5分）对任意正数x，满足xy+，则正实数y的最大值为　　．
解：2﹣4y2＝xy+≥2＝2y，当且仅当xy＝，即x＝1时，等号成立．
所以4y2+2y﹣2≤0，即2y2+y﹣1≤0，
解得y≤，又∵y＞0，故0＜y≤．
所以y的最大值为．
故填：．
15．（5分）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为　40000　元（取1.211＝7.5，1.212＝9）．
解：设1月月底小王手中有现款为a1＝（1+20%）×10000﹣1000＝11000元，
n月月底小王手中有现款为an，n+1月月底小王手中有现款为an+1，
则an+1＝1.2an﹣1000，即an+1﹣5000＝1.2（an﹣5000），
所以数列{an﹣5000}是首项为6000，公比为1.2为公比的等比数列，
∴，即＝50000，
年利润为50000﹣10000＝40000元，
故答案为：40000．
16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式exf（ex）﹣ex+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为　2　
解：根据题意构造F（x）＝xf（x）﹣x，
由定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，可得f（x）为偶函数，
又F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）+x＝﹣xf（x）+x＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，
当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x），
即xf′（x）+f（x）＞1，即F′（x）＝f（x）+xf′（x）﹣1＞0，
所以F（x）在[0，+∞）递增，
所以F（x）为R上的奇函数且单调递增，
因为对任意x∈R，不等式exf（ex）﹣ex+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，
即F（ex）﹣F（ax）＞0，即F（ex）＞F（ax），
可得ex＞ax对任意x∈R恒成立．
又y＝ex﹣ax的导数为y′＝ex﹣a，
当a≤0时，ex﹣a＞0，函数y＝ex﹣ax为增函数，ex＞ax对任意x∈R不恒成立；
当a＞0时，x＞lna时，y′＞0，函数y递增；x＜lna时，y′＜0，函数y递减．
可得x＝lna时，函数y取得最小值，且为a﹣alna，
则a﹣alna＞0，解得0＜a＜e，
故正整数a的最大值为2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π．
（1）求ω的值及g（φ）＝f（）的值域；
（2）若φ＝，sinα﹣2cosα＝0，求f（α）的值．
解：（1）函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为＝π，
∴ω＝2，f（x）＝sin（2x﹣φ）．
∵|φ|≤，∴﹣φ∈[﹣，]，
g（φ）＝f（）＝sin（﹣φ）∈[﹣，1]．
（2）若φ＝，则 f（x）＝sin（2x﹣φ）＝sin（2x﹣）．
∵sinα﹣2cosα＝0，∴tanα＝2，
∴sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝﹣，
故 f（α）＝sin（2α﹣）＝sin2α﹣cos2α＝﹣×（﹣）＝．
18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x（a∈R）
（1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．
解：∵（1）当a＝3时函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x，
函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x＝﹣x3+x2﹣2x，
∴f′（x）＝﹣x2+3x﹣2，
﹣x2+3x﹣2＞0，即1＜x＜2
﹣x2+3x﹣2＜0即x＞2，x＜1．
所以函数f（x）的单调增区间（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1），（2，+∞）
（2）对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，
﹣x2+ax﹣2＜2（a﹣1），即x2﹣ax+2a＞0，△＝a2﹣8a，g（x）＝x2﹣ax+2a，
当△＜0时0＜a＜8，不等式成立．
当△≥0时，即a≥8，a≤0，g（1）＞0，≤1
﹣1＜a≤0，
综上实数a的取值范围：﹣1＜a＜8．
19．（12分）在①csin＝asinC，②2cosA（bcosC+ccosB）＝a，③（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．
（1）求C的值；
（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．
解：（1）选①，，
由正弦定理可得sinCsin＝sinAsinC，
因为C为三角形内角，sinC＞0，
所以sin＝sinA，即cos＝2sincos，
因为A为三角形内角，∈（0，），
所以sin＝，可得＝，可得A＝，
可得B＝﹣C，
又c＝（）b，
由正弦定理可得sinC＝（﹣1）sinB，即sinC＝（﹣1）sin（﹣C）＝cosC+sinC，
可得sinC﹣cosC＝0，即sin（C﹣）＝0，
又C∈（0，π），
所以C﹣∈（﹣，），
所以C﹣＝0，即C＝．
选②，2cosA（bcosC+ccosB）＝a，
由正弦定理可得2cosA（sinBcosC+sinCcosB）＝sinA，
所以2cosAsin（B+C）＝2cosAsinA＝sinA，
因为sinA≠0，
所以cosA＝，
又A为三角形内角，A∈（0，π），
所以A＝，可得B＝﹣C，
又c＝（）b，
由正弦定理可得sinC＝（﹣1）sinB，即sinC＝（﹣1）sin（﹣C）＝cosC+sinC，
可得sinC﹣cosC＝0，即sin（C﹣）＝0，
又C∈（0，π），
所以C﹣∈（﹣，），
所以C﹣＝0，即C＝．
选③，（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC，
由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，
因此cosA＝＝，
又A为三角形内角，A∈（0，π），
所以A＝，可得B＝﹣C，
又c＝（）b，
由正弦定理可得sinC＝（﹣1）sinB，即sinC＝（﹣1）sin（﹣C）＝cosC+sinC，
可得sinC﹣cosC＝0，即sin（C﹣）＝0，
又C∈（0，π），
所以C﹣∈（﹣，），
所以C﹣＝0，即C＝．
（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bcsinA＝bc＝b2，
所以解得b＝2．
20．（12分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且满足a1＝b1＝2，a3+a5+a7＝30，b2b3＝a16．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}，{bn}的前n项相分别为Sn，Tn．
①是否存在正整数k．使得Tk+1＝Tk+bk+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
②解关于n的不等式Sn≥bn．
解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比是q，
由题意得，解得：d＝2，
故an＝a1+（n﹣1）d＝2n，
由题意得，解得：q＝2，
故bn＝b1qn﹣1＝2n；
（2）①假设存在Tk+1＝Tk+bk+32，
即Tk+1﹣Tk＝bk+32，即bk+1＝bk+32，
即2k+1＝2k+32，解得：k＝5，
故存在k＝5符合题意；
②令f（n）＝Sn﹣bn，即解不等式f（n）≥0，
f（n+1）﹣f（n）＝Sn+1﹣Sn﹣（bn+1﹣bn）＝an+1﹣（bn+1﹣bn）＝2（n+1）﹣2n，
令F（n）＝2（n+1）﹣2n，n∈N*，F（n+1）﹣F（n）＝2﹣2n，
当n＝1时，F（n+1）﹣F（n）＝0，即F（1）＝F（2）＝2，
当n≥2时，F（n+1）﹣F（n）＜0，即F（2）＞0＝F（3）＞F（4）＞…＞F（n）＞…，
故n＝1，2时，f（n+1）﹣f（n）＞0，n＝3时，f（n+1）﹣f（n）＝0，n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＜0，
又f（1）＝S1﹣b1＝a1﹣b1＝0，f（4）＝f（3）＝S3﹣b3＝a1+a2+a3﹣b3＝4，
f（5）＝S5﹣b5＝a1+a2+a3+a4+a5﹣b5＝﹣2＜0，
故0＝f（1）＜f（2）＜f（3）＝f（4）＞0＞f（5）＞f（6）＞…＞f（n）＞…，
故f（n）≥0即Sn≥bn的解为n∈{1，2，3，4}．
21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，则称[a，b]为f（x）的一个“k倍倒城区间“．定义在[﹣4，4]上的奇函数g（x），当x∈[0，4]时，g（x）＝﹣x2+4x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）在[2，4]内的“8倍倒城区间”；
（3）若g（x）在定义域内存在“k（k≥8）倍倒域区间”，求k的取值范围．
解：（1）设x∈[﹣4，0）时，﹣x∈（0，4]，
所以g（﹣x）＝﹣x2﹣4x，又函数g（x）是奇函数，
所以g（x）＝﹣g（﹣x）＝x2+4x，
所以函数g（x）的解析式为：g（x）＝；
（2）设该区间为[a，b]?[2，4]，则g（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
g（x）在区间[a，b]上递减，由题意可得：，
解得a＝2，b＝，
所以函数g（x）在[2，4]上的“8倍倒域区间”为[2，+1]；
（3）由g（x）＝，则函数g（x）在[﹣4，﹣2]，[2，4]上单调递减，在区间[﹣2，2]上单调递增，
设g（x）的“k倍倒域区间”为[a，b]，且k≥8，则，解得ab＞0，
①当2≤a＜b≤4时，，即方程x3﹣4x2+k＝0在[2，4]上有两个不同的根，
令f（x）＝x3﹣4x2+k，x∈[2，4]，f′（x）＝x（3x﹣8），
当x∈[2，]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈[]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（2）＝﹣8+k，f（4）＝k，f（）＝﹣+k，
要使得f（x）在[2，4]上有两个不同的零点，则，解得k∈[8，），
同理可得：﹣4≤a＜b≤﹣2时，k∈[8，）；
②﹣4≤a≤﹣2＜b＜0时，可得b＝﹣，矛盾，舍去，
③0＜a＜2＜b≤4时，可得a＝，矛盾，舍去，
④﹣2≤a＜b＜0时，g（x）在[a，b]上递增，则，
两式相减可得：，又a≠b，故a+b+4＝，
即，代入a，可得ab＝0，矛盾，舍去，
同理，0＜a＜b≤2也不符，舍去，
综上，k．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ax?sinx．
（1）求曲线C：y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当a＝﹣2时，设函数，若x0是g（x）在（﹣π，0）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一极大值点，且0＜g（x0）＜2．
解：（1）f（0）＝1，f′（x）＝ex+asinx+axcosx，f′（0）＝1，
故所求切线方程为：y＝x+1；
（2）证明：a＝﹣2，f（x）＝ex﹣2xsinx，g（x）＝﹣2sinx，x∈（﹣π，0），
g′（x）＝，x∈[﹣，0）时，g′（x）＜0，
故g（x）在[﹣，0）递减，
令h（x）＝（x﹣1）ex﹣2x2cosx，x∈（﹣π，﹣），
h′（x）＝xex﹣4xcosx+2x2sinx＝x（ex﹣4cosx+2xsinx），
x∈（﹣π，﹣）时，h′（x）＜0，故h（x）在（﹣π，﹣）递减，
h（﹣π）＝2π2﹣＞0，h（﹣）＝（﹣﹣1）＜0，
h（﹣π）h（﹣）＜0，由零点存在性定理知：h（x）在（﹣π，﹣）上有唯一零点，
即g′（x）在（﹣π，﹣）上有唯一零点，该零点即为x0，
x∈（﹣π，x0）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
x∈（x0，﹣）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
又x∈[﹣，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣π，x0）递增，在（x0，0）递减，
∵x0∈（﹣π，﹣），∴g（x0）＞g（﹣）＝2﹣＝＞0，
∵x0∈（﹣π，﹣），∴g（x0）＝﹣2sinx0＜﹣2sinx0＜2，
故x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一的极大值点，且0＜g（x0）＜2．