第1章三角形的证明 题型解读6 有关高线题型-北师大版八年级数学下册（含答案）

《三角形的证明》题型解读6 有关高线题型
【知识梳理】
1.三角形三条高线会交于一点，
2.题目涉及“高线”（或“距离”），应联想到以下用途
①联系面积问题
②联想到可能会分类讨论--出现“界内高”或“界外高”情况
【典型例题】
例1.从边长为2的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为_______
思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接AD、BD、CD，看似乎与直角三角形有点联系，但各个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于三个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即可得到所需的结论。
解题过程：连接AD、BD、CD，由图可得：S?ABC=S?ABD+S?BCD+S?ACD，即边长×（边长×32）÷2=AB×DE÷2+BC×DF÷2+AC×DG÷2，∴2×（2×32）÷2=2×DE÷2+2×DF÷2+2×DG÷2，整理得：DE+DF+DG=3，即三条垂线段长的和为3.
例2.已知等边三角形ABC的边长为4，点D是BC的任意一点，则点D到AB、AC两边的距离之和是__________
思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接AD，看似乎与直角三角形有点联系，但两个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于二个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即可得到所需的结论。
解题过程：连接AD，由图可得：S?ABC=S?ABD+S?ACD，即边长×（边长×32）÷2=AB×DE÷2+AC×DF÷2，∴4×（4×32）÷2=4×DE÷2+4×DF÷2，整理得：DE+DF =43，即点D到AB、AC两边的距离之和是43.
例3.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____
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解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，
OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S?ACD=12S矩形ABCD=24，∴S?A0D=12S?ACD=12，
∵S?AOD=S?AOP+S?DOP=12OA?PE+12OD?PF=12×5×PE+12×5×PF=52（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．
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例4．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　　cm．
【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB?DE=AB?DE=3AB，又S△ABC=12AC?BF，将AC=AB
代入即可求出BF．
解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB?DE=AB?DE=3AB，
∵S△ABC=12AC?BF，∴12AC?BF=3AB，∵AC=AB，∴12BF=3，∴BF=6．
例5.运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面
积法．
（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是　 　；（直接写出结论不必证明）
（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝34x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．
【解析】几何综合题，压轴题，考查高线的应用，利用“解题思路的延续性”解题.
（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝12×AB×ME＝12×AB×h1，S△AMC＝12×AC×MF＝12×AC×h2，
又∵S△ABC＝12×AC×BD＝12×AC×h，∴12×AC×h＝12×AB×h1+12×AC×h2，∴h1+h2＝h．
（2）h1﹣h2＝h．
（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：1+My＝OB，My＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝13，
∴M（13，2）；
②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：My﹣1＝OB，My＝3+1＝4，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝﹣13，
∴M（﹣13，4），∴点M的坐标为（13，2）或（-13，4）．
例6．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD=1，AB=2AC，求BC的长．
【分析】分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=3，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，
∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，
∴在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC=23；
②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，
∴在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC=27；
综上所述，BC的长为23或27．
例7．如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：　　．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
【解答】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），
所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，
∴CH＝＝＝；
答：CH的长为；
（3）证明：如图（4），
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴AB?CH＝AB?OM+AC?ON，
∵AB＝AC，
∴CH＝OM+ON．
即OM+ON＝CH．