第1章三角形的证明 题型解读8 有关中线题型-北师大版八年级数学下册（含答案）

1235710010274300《三角形的证明》题型解读8 有关中线题型
【知识梳理】
1.中线与中点的相互联想解题；
2.利用中线与面积的关系解题
【典型例题】
例1．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选：B．
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．23
【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，由勾股定理可得CD=4，故选：C．
例3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．
解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°﹣∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．故选：B．
例4．如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=　　．
【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=32，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+14AO2=4， 14BO2+AO2=94，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．
解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD=12BC=2，AE=12AC=32，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，
∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=94，∴BO2+14AO2=4， 14BO2+AO2=94，∴54BO2+54AO2=254，
∴BO2+AO2=5，∴AB==5．
例5.如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，连接DE、EF，则△ABC和△DEF的面积比是______.
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【解析】由“等底等高面积相等”可得：S△EFC=S△EFD, S△ADE=S△CDE,S△ABD=S△ACD,即可求出△ABC和△DEF的面积比.
【解题过程】∵F是DC的中点，∴S△EFC=S△EFD, ∵E是AC的中点，∴S△ADE=S△CDE, ∵D是BC的中点，∴S△ABD=S△ACD,∴S△ABC=S△DEF×8,∴S△ABC:S△DEF=8:1.
614680345440例6.在△ABC中，将AB延长一倍到D，BC延长两倍到E，CA延长三倍到F，连接DEF，若△ABC的面积为1，求△DEF的面积.

【解析】依“高相等时，两个三角形的面积比会等于各自的底边之比”即可解题。
【解题过程】
连接FB，∵AF=3AC, S?ABC=1,∴S?FBA=3S?ABC=3, ∵AD=2AB，∴S?FDA=2S?FBA=6；
连接DC，∵BD=AB, ∴S?DBC=S?ABC=1, ∵BE=3BC，∴S?DBE=3S?DBC=3；
连接DC，∵CE=2BC, ∴S?ACE=2S?ABC=2, ∵CF=4AC，∴S?CEF=4S?EAC=8；
∴S?DEF=S?ABC+S?ADF+S?DBE+S?CEF=1+6+3+8=18
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center21209095250238760例7..如图，△ABC中，BC=10,AC-AB=4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S?BDC的最大值为_______
解析：利用角平分线的对称轴添辅助线，出现线段和差的“截长补短”，延长AB、CD交于E，正好符合以上两个特征，则AC=AE，BE=4，D是EC中点，S?BDC=S?BDE，要S?BDC使最大，即S?BCE要最大，而底边BC的长是固定的，
即需要高EF最长，当F与B重合时，即BE⊥BC时，△EBC的高最长(高在别的地方的长度均比EB小，因为EF与EB组成直角三角形，BE是斜边)，即S?BCE面积最大为20，所以S?BDC的最大值为10.即图2.
例8.如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E,F分别在AC,BC上，∠EDF=90°，已知CE=4,AE=2,BF-CF=32,求AB.
解析：延长DE一倍到M，连接FM,BM，则△AED≌△BMD，由△EFM是等腰三角形，MB⊥BC，利用Rt△CEF、Rt△BMF的勾股定理及EF=FM可得CE2+CF2=BM2+BF2可得BF2-CF2=12=(BF+CF)(BF-CF)，可得BF+CF=8,可得BC=8,则AB=10
例9．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；
（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=12AE?DE=12?2a?a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC=12AC?DE=12?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE；
在△ADE和△BGE中，∵∠AED=∠BEG,DE=GE,∠ADE=∠BGE，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=12AE?BE=12?（2a）?2a=2a2，S△ACE=12CE?BE=12?（2a）?2a=2a2，S△BHG=12HG?BE=12?（a+a）?2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
例10．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②
在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），
∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故选：A．