第1章三角形的证明 题型解读5 有关垂直平分线题型-北师大版八年级数学下册（含答案）

《三角形的证明》题型解读5 有关垂直平分线题型
【知识梳理】
1.概念---垂直+平分；
2.性质
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
5522595180975②三角形三条垂直平分线会交于一点（外心），交点位置分别是：若是锐角三角形，交在三角形内部；若是直角三角形，交于斜边中点处；若是钝角三角形，交于三角形外部；
3.判定---到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
4.尺规作图—要求：会识别；依据：全等判定SSS
作法:①分别以点A,B以为圆心,以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；
②过C，D两点作直线CD（交AB于M）；直线CD就是线段AB的垂直平分线（M即为AB的中点）
【方法梳理】-----常见辅助线作法：连接线段的端点
【典型例题】
3733800202565例1.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析：考查垂直平分线的性质，基础简单题，由等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，可得AB=AC=7，由AB的垂直平分线是DE可得AE=BE，∴△BEC的周长=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=5+7=12，选D
例2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，42957756668770下列结论中，不一定成立的是（ ）
320992515875PA=PB B. PO平分∠APB
OA=OB D. AB垂直平分OP
解析：由角平分线性质可知选A正确；由△OAP≌△OBP可知选项B，C正确；故选D；
1333500214630例3．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为_____
解析：由∠B=30°可得BE=2DE=10，由垂直平分线性质可得CE=BE=10.
例4．如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是______
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解析：由垂直平分线性质可得AD=DC，∠A=∠ACD=30°∴∠BCD=30，∴CD=2BD=2,∴BC=3，∴AC=2BC=23.
例5.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
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A. △ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
解析：由凉亭到草坪三条边的距离相等，可知凉亭应是三个角平分线的交点，故选C，
例6.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为______
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解析：由作图痕迹可知MN是AB的垂直平分线，由△ADC的周长为10可得AC+CD+AD=10,即AC+CD+BD=AC+BC=10，∴△ABC的周长=AC+BC+AB=10+7=17
例7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是___2___
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解析：连接AF，得AF=BF，求出∠AFD=30°，∠B=60°，∠BAC=30°，∠FAC=30°，AE=2DE=2，∠FAE=∠AFD=30°，EF=AE=2
例8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O重合，则∠OEC的度数为_________
解析：连接OB、OC，则∠BAO=∠BAC÷2=27°,∵AB=AC,∴∠ABC=(180°-∠BAC)÷2=63°,∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=27°,∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°36°,∵O是△ABC三条边垂直平分线的交点，∴OB=OC,∠OCB=∠OBC=36°,∵OE=CE,∴∠COE=∠OCB=36°,∴∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°
例9.如图1，已知△ABC中，CE是中线，CE的垂直平分线交BC于点D，交CE于G点，连接DE，且DE=12AB。
求证：DC=BE；
若∠AEC=66°，求∠BCE的度数；
在（2）的条件下，连接AD，如图2，求∠BAD的度数。
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解析：（1）由垂直平分线性质可得DC=DE,由CE是中线及2DE=AB可得DE=BE，所以DC=BE；
（2）利用外角定理可得∠AEC=∠B+∠BCE=66°，由BE=DE可得∠B=∠BDE,由DE=DC可得∠BCE=∠DEC,∴∠B=∠BDE=2∠BCE,∴∠BCE=66°÷3=22°.
（3）由DE=BE=AE可得∠B=∠BDE,∠EAD=∠EDA,由∠B=∠BDE+∠EAD+∠EDA=180°可得∠BAD+∠B=90°,由（2）可知∠B=44°,∴∠BAD=46°
例10.如图，在△ABC中，AB,AC边的垂直平分线交于点O，分别交BC边于点M,N，连接AM,AN.
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON=30°,求∠MAN的度数；
（3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求MN的长度。
解析：（1）∵OM是AB的垂直平分线，∴MA=MB，同理可得NA=NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA=6,即MB+MN+NC=BC=6；（2）∵∠MON=30°，∴∠OMN+∠ONA=150°,∴∠BME+∠CNF=150°,∵MA=MB,ME⊥AB,∴∠BMA=2∠BME，同理，∠ANC=2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC=300°,∴∠AMN+∠ANM=360°-300°=60°,∴∠MAN=180°-60°=120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN=90°，由（1）可知，MA=MB=3，NA=NC，设MN=x，∴NA=NC=12-3-x=9-x，由勾股定理得，32+(9-x)2=x2，解得x=5,即MN=5.