第1章三角形的证明 题型解读7 有关角平分线题型-北师大版八年级数学下册（含答案）

1017270010477500《三角形的证明》题型解读7 有关角平分线题型
【知识梳理】
1.概念-----平分角；
2.性质
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
②三角形的三条角平分线分交于一点（内心）；
47123351803403.判定---在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
4.尺规作图------要求：会识别；依据：全等判定SSS
作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C；
③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线
【方法梳理】
1.利用“角平分线的轴对称性”来构造全等三角形：(角分线，分两边，对称全等要记全)
内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形
2.利用角平分线的性质构造全等三角形来解题(分线点，垂两边)
3.构造等腰三角形来解题：角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。
4.出现两条角平分线时的解题思路
①利用典型数学模型求角度：两条角平分线与第三角的角度关系
②.利用三条角平分线相交于一点添辅助线解题
【典型例题】
例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于
点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交
564832578740BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S?DAC：S?ABC=1：3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD．
∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD，∴S△DAC：S△ABC=AC?AD： AC?AD=1：3．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D
1504950549275例2.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）
A. a=b B. 2a+b=﹣1 C. 2a﹣b=1 D. 2a+b=1
解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选B
1591945742950例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是____
2028825514350解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB?DE=12×15×4=30．
例4．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　　．
解析：考查角平分线性质、30度角直角三角形边角关系，数学典型模型“角平分线+平行线=等腰”，过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝12PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．
例5.证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出不完整的已知和求证。
475297580010（1）已知：如图，OC是∠AOC的角平分线，点P在OC上，_______，_______，
求证：__________.（请你补全已知和求证）
（2）写出证明过程.
解析： （1）已知：如图，OC是∠AOC的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，求证：PD=PE.
（2）证明过程：
∵OC是∠AOC的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90?,∵OP=OP,∴△OPD≌△OPE,∴PD=PE.
1743075440690例6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为______
解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1，
266700511810例7. 如图，已知点P是∠AOB角平分线上一点，∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点，DM=4如果C是OB上一个动点，则PC的最小值为_____
解析：由题可得∠AOP=30°,∵PD⊥OA,M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2OM=8cm，∴PD=12OP=4cm，∵C是OB上一动点，∴PC的最小值为P到OB的距离，∴PC的最小值=PD=4.
879475382905例8.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是___
解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
342900271780∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．
例9．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　　．
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解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°，∵EF∥OB，
676275257175∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2，
例10. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，BD=43，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于E，则CE=____________
解析：角平分线的对称模型，分别延长CE、BA交于点F，则△BEF≌△BEC，则△BAD≌△CAF，CE=12CF=12BD=23.
例11.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=　 ．
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解析：由典型模型“两角平分线夹角与第三角关系”可得∠BDC=90°+12∠A=110°

1371600419100例12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于________
解析：由典型模型“两角平分线夹角与第三角关系”可得∠D=12∠A=15°
2543175354965例13.在△ABC 中，AB＝10，CA＝8，BC＝6，∠BAC 的角平分线与∠ACB的角平分线相交于 l，且 DE∥BC 交 AB 于 D，则 Dl 的长等于____________．
【思路分析】初中几何题中出现两条角平分线，一般只有两个思考方向：①若题涉及到角度计算，则往往利用数学典型模型：“两角平分线的夹角与第三角的关系”解题；②添第三条角平分线且作各边垂线，利用“三角形三角平分线交于一点”及“角平分线的性质”解题，此题就是第二个思考方向。故连接BI，作IG⊥AB于点G，这样图形就传递出两条件信息：①出现数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰△”：DI=BD、DG=BG-BD=BG-DI；②先求出IG、DG的长，利用勾股定理可得DI的长；利用图2的方法可求出BG、IE的长；图3 Rt△DIG中，利用方程思想及勾股定理，即可求解DI的长度。
33051751525905213360015601959048751471295【解题过程】如图2，设AG=x，由角平分线性质易得△AIG≌△AIF、△BIG≌△BIE、△CIE≌△CIF，则AG=AF=x,BG=BE=10-x,CE=CF=8-x, ∵BC=(10-x)+(8-x)=6, ∴x=6,∴BG=4；EC=FC=2,∵AB＝10，CA＝8，BC＝6，由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∵IC是角平分线，∴∠ICE=45°，△IEC是等腰直角三角形，∴IE=EC=2，由角平分线性质可得IG=IF=IE=2。如图3，∵DI//BC，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴DI=DB，设DI=m,由BD=m,DG=4-m,在Rt△DIG中，由勾股定理可列方程为：22+(4-m)2=m2，解得m=52.
0300990例14.如图，△ABC中，BC=10,AC-AB=4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S?BDC的最大值为_______
解析：利用角平分线的对称轴添辅助线，出现线段和差的“截长补短”，延长AB、CD交于E，正好符合以上两个特征，则AC=AE，BE=4，D是EC中点，S?EBC=2S?BDC，要使S?BDC最大，即要S?EBC最大，而底边BC的长是固定的，
10668002781302809875201930即需要高EF最长，当F与B重合时，即BE⊥BC时，△EBC的高最长，即面积最大为20，所以S?BDC的最大值为10.即图2.
例15.已知四边形ABCD中，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=AB+CD.
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例16.如图，点A(-6,0),B(0,6),点C为x轴正半轴上一动点，且OC<6，过点A作AD⊥BC交y轴于点E.
（1）如图①，求证：△AOE≌△BOC；
（2）如图②，若C在x轴正半轴上运动，其它条件不变，连接DO，求证：DO平分∠ADC；
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当AD-CD=OC时，求∠OCB的度数；
解析：
（1）△AOE与△BDE组成的“8字模型”可证∠EAO=∠CBO，再由∠AOE=∠BOC=90°,OA=OB，由ASA可证△AOE≌△BOC。
（2）初中角平分线的最常用（或唯一）判定定理是：若点到角的两边的距离相等，则该点所在直线为角的角平分线。结合解题思路的延续性，利用全等面积相等（等面积法）的性质即可解题
过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BC于点N，由（1）可知△AOE≌△BOC，∴AE=BC，S?OAE=S?OBC，即12AE?OM=12BC?OM，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC
（3）数学典型题型：“线段和差问题”，解题方法：截长补短，注意利用解题思路的延续性解题,及审图时注意利用技巧：想办法拉近已知条件与未知条件的图形的位置。由题可知∠1+∠4=90°，要想求∠4的度数，必须先建立起∠4与∠1的数量关系，∠4在图形的右下角，而∠1在图形的左下角，所以我们要想办法把∠4与∠1的图形位置拉近，由“截长补短”所构造的△DFO≌△DCO，可以把∠4的位置“拉”到∠3位置（图形的中部位置），再利用外角定理即可把∠3的图形位置“拉”到与∠1同一个三角形△FAO中，利用△AOF是等腰三角形，即可建立∠3与∠1的数量关系，即∠4与∠1的数量关系，再利用三角形内角和公式即可求解∠4的度数。
在AD是截取DF=CD，连接OF，由（2）可知OD是∠ADC的角平分线，则易证△DFO≌△DCO,∴∠3=∠4,OF=OC,∵AD-CD=OC，∴AF=OC，∴AF=OF,∴∠1=∠2,由外角性质可得∠3=∠1+∠2=2∠1,∴∠4=2∠1，∴∠ADC=90°,∴∠1+∠4=90°,∴∠4=60°,即∠OCB=60°