第1章三角形的证明 题型解读3 有关等边三角形题型-北师大版八年级数学下册（含答案）

《三角形的证明》题型解读3 有关等边三角形题型
【知识梳理】
1.主要性质
（1）三边都相等，三角都等于60°
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
（3）“三线合一”性质
（4）“高=32×边长”
2.两个重点：①“三线合一”；②高与边的关系计算；
【典型例题】
例1.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 15°；
解析：由题可得：∠ACB=2∠GDC=4∠E=60°，∴∠E=15°；
例2.在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，且∠EBC=45°，则∠ACE=_____
解析：由题可知AD是BC的垂直平分线，则BE=CE，所以∠BCE=∠EBC=45°，则∠ACE=15°，
例3. 边长为2的正三角形的面积是___________
解析：考查等边三角形边与高的关系：高=32×边长，∴S正三角形=12×2×2×32=3
5627370395605例4. 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF折叠，使点B于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则D10=______
解析：依等边三角形边与高的关系求出BD、BD1、BD2、BD3……，再依规律即可求解。
由题可知，图中的每个正三角形的边长都是前一个正三角形边长的12，依公式“高=32×边长”
可分别计算出：BD=32，BD1=322，BD2=323，BD3=324…，由规律可得：BD10=3211
点评：此题运用的就是等边三角形边与高的关系解题，再利用规律探究题型寻找规律的方法与技巧求解。
5410200626110例5.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正?AB1C1，△ABC与?AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正?AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正?AB2C2，?AB1C1与?AB2C2公共部分的面积记为S2……，以此类推，则Sn=__________(用含n的式子表示)
解析：由题可知，每个等边三角形的高，即是下一个等边三角形的边长，
这样依等边三角形边与高的关系可以求出每个三角形的边长及它的高，再计算出各个面积，
再依规律即可求解。
由题可知：AB1=3，∴S1=12×12×3×3×32=34×32
AB2=32，∴S2=12×12×32×32×32=(34)2×32; ∴Sn=(34)n×32
例6.如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，
则DG的长为　　．
【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG
以及DG的长．
解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，
且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，∴FC=12EC=1，
故EF=3，∵G为EF的中点，∴EG=32，∴DG=192．
例7.如图已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°,AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，正面结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是___________
解析：（1）如图1，连接OB，由AB=AC，AD⊥BC可得BD=CD，∠BAD=∠CAD=60°，则OB=OC，∠ABD=∠ACD=30°，∵OP=OC，∴OB=OC=OP,∴∠APO=∠OBP,∠OBC=∠OCD,∴∠APO+∠OCD=∠OBP+∠OBC=∠ABC=30°,①正确；
（2）由（1）∠APO=∠OBP,∠OBC=∠OCD，假设②正确，则∠OBP=∠OBC,BO是∠ABC的角平分线，而题意是O是线段AD上任意一点，故假设不成立，②错误；
（3）由∠ABC=30°可得∠APC+∠DCP=150°,∵∠APO+∠DCO=30°,∴∠OPC+∠PCO=120°,∴∠POC=60°,∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形，③正确；
（4）如图2，在AC截取AE=AP，连接PE，由∠PAC=60°可知△APE是等边三角形，则由PA=PE，∠PEC=∠OAP=120°,OP=CP可得△PEC≌△PAO，∴EC=OA，∴AB=AE+EC=AP+OA，④正确；
∴正确的是①③④.
例8. 如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC＝43，在BE上截取BG＝2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为_______
2590800132715
解析：凡是涉及面积的题目，首先解决面积方法，由图可知，需用“补割法”求阴影部分的面积。即阴影部分的面积=S△EFG-S△FPN-S△MEH，我们分别求出△EFG、△PFN、△MHE的面积，即可求出阴影部分的面积。一个三角形一个三角形来解决，这样我们的思路的目的性就明确清晰了。
①△EFG；题目已知条件---它是等边三角形，由等边三角形的性质（4）可知，只需要求出它的边长（即GE长），即可得出它的面积。由于GE=BE-BG=BE-2，故只需求出BE长即可，由题可知，BE是等边三角形ABC的高，∴由性质（4）可得：BE=AC×32=6，则GE=4，∴S△EFG=GE?（GE×32）÷2=43；
②△PFN；由性质（1）、（3）可知，∠1=∠2=30?，则∠4=∠3=∠8-∠1=60?-30?=30?，而∠F=60?，∴△PFN是直角三角形，∵∠1=∠3，∴NG=BG=2，∴FN=FG-NG=GE-NG=4-2=2，∵∠4=30?，∴PF=12FN=1，∴PN=3，∴S?PNF =PF?PN÷2=32；
③△EMH；∵∠2=30?，∴∠5=∠7=60?，∵∠6=60?，由等边三角形性质与判定（2）可知：△MEH也是等边三角形，只需求出HE长即可求出它的面积。在直角三角形BDH中，∵∠2=30?，BD=23，∴BH=32?BD=4，∴GH=BH-BG=2，∴HE=GE-GH=2，∴S?EMH=HE??（HE×32）÷2=3；∴阴影部分的面积=S?EFG-S?PNF-S?EMH =43-32-3=532.
点评：这是一道很典型的题目，基本能涵盖等边三角形所有知识细点，好好理解、体会这道例题，有助于我们全面掌握等边三角形性质的应用。
例9．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．