第1章三角形的证明 题型解读4 有关直角三角形题型-北师大版八年级数学下册（含答案）

《三角形的证明》题型解读4 有关直角三角形题型
【知识梳理】
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【典型例题】
例1.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两
边分别相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边都是5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必
全等.其中正确的是_______（填入正确的序号）
解析：考查直角三角形性质与全等判别。基础简单题。②③④正确；
1381125281305例2．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　
______．
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°；当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，
综上所述，∠ADC的度数为　130°或90°　
例3.如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1,AB=42,则下列结论一定正确的个数是（ D ）
①BC=2CD;②BD>CE;③∠CED+∠DFB=2∠EDF;④△DCE与△BDF的周长相等；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：由AB=42可得AC=BC=4，则AE=3=DE,由勾股定理可得CD=22, ①正确；BD=4-22>1,②正确；由∠A=∠EDF=45°,则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-(∠CDF-45°)= 135°-∠CDE=135°-(∠DFB+45°)= 90°-∠DFB,故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；△DCE的周长=CD+CE+DE=22+4,△BDF的周长=BD+BF+DF=BD+AB=42+4-22=4+22,④正确；
例4.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3,PE=1.
(1)求证：AD=BE；
(2)求AD的长.
解析：（1）由AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD易证△ABE≌△CAD，可得AD=BE；
（2）由△ABE≌△CAD可得∠CAD=∠ABE，∴∠BPQ=∠ABE+∠PAB=∠CAD+∠PAB=∠BAC=60°,∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=6,∴BE=PQ+PE=7,∴AD=BE=7.
例5.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当为多少度时,△AOD是等腰三角形.
解析.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD=180°-(α-60°)2=120°﹣α2，
∴190°﹣α=120°﹣α2，解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
例6.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为______
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解析：如图，由题可得AB=3cm，∠ACB=30°,∴AC=2AB=6cm，∵△ACD是等腰直角三角形，∴AD=2AD=62cm.
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例7．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，
且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为_____
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
例8.如图1，已知△ABC中，CE是中线，CE的垂直平分线交BC于点D，交CE于G点，连接DE，且DE=falseAB。
求证：DC=BE；
若∠AEC=66°，求∠BCE的度数；
在（2）的条件下，连接AD，如图2，求∠BAD的度数。
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解析：（1）垂直平分线+条件“DE=falseAB”可证明结论；
（2）设∠DEC=∠DCE=x，则∠EDB=2x=∠B，∠AEC=3x=66°,x=22°
（3）“直角三角形斜边中线是斜边一半逆定理”，由DE=BE=AE，由等角可得∠ADB=90°,∠B=44°, ∠BAD=46°
例9.如图，直线AB与坐标轴分别交于A,B两点，A(0,4),B(8,0),点C(m,n)是线段AB上一点.
（1）求AB的解析式；
（2）点P为坐标轴上一动点，动点P从点B出发，沿BO,OA的路径以每秒2个单位长度的速度匀速运动，到达A处停止，若m=4，在运动过程中，当直线PC将△OAB分成面积为1：3的两部分时，求t的值；
（3）若m=3，在坐标轴上，是否存在点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）由待定系数法可得直线AB的解析式为：y=-12x+4
（2）由题可得△AOB的面积=12×4×8=16;当m=4时，n=2，∴C点坐标为（4，2）,
①如图，当P点在OB上时，∵S?BCP:S?OAB=1:4，∴S?BCP=4=12×2×BP,∴BP=4，∴t=4÷2=2(秒)
②如图，当P点在OA上时，∵S?BCP:S?OAB=1:4，∴S?BCP=4=12×4×AP,∴AP=2，∴t=(4+8-2)÷2=5(秒)
综上所述，当直线PC将△OAB分成面积为1：3的两部分时，t的值为2秒或5秒
（3）由题可知，当m=3时，n=52，∴C点坐标为（3，52）,
①如图，当∠ACQ=90°时，过点C作CQ⊥AB分别交坐标轴于Q1，Q2；∵直线AB的解析式为：y=-12x+4，CQ⊥AB，∴设直线CQ的解析式为y=2x+b，代入C点坐标可得b=-72，∴直线CQ的解析式为y=2x-72，当x=0时，y=-72,当y=0时x=74，∴Q1(74，0)，Q2(0,-72)；
②如图，当∠CAQ=90°时，过点C作CQ⊥AB分别交坐标轴于Q3；设直线CQ的解析式为y=2x+b，代入A点坐标可得b=4，∴直线CQ的解析式为y=2x+4，当y=0时x=-2，∴Q3(-2，0)；
③如图，当∠AQC=90°时，过点C作CQ⊥OA分别交坐标轴于Q4；则 Q4(0,52)；
综上所述，存在点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是直角三角形，点Q的坐标为74，0，0,-72，-2，0或(0,52)；